Страница 316 номер 1042, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

\(y = x^{2} + px\) – парабола, ветви вверх. Пересекает оси в точках \((-p;\ 0)\) и \((0;\ 0)\).

Точки пересечения с \(y = kx + 1\):

\(x^{2} + px = kx + 1,\)
\(x^{2} + x(p - k) - 1 = 0,\)
\(x_{1} = \dfrac{k - p - \sqrt{(p - k)^{2} + 4}}{2}, x_{2} = \dfrac{k - p + \sqrt{(p - k)^{2} + 4}}{2};\)
\(S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( kx + 1 - x^{2} - px \right)dx} = \left. \ \left( \dfrac{kx^{2}}{2} + x - \dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{px^{2}}{2} \right) \right|_{x_{1}}^{x_{2}} =\)
\(= - \dfrac{1}{3}\left( x_{2}^{3} - x_{1}^{3} \right) + \left( \dfrac{k - p}{2} \right)\left( x_{2}^{2} - x_{1}^{2} \right) + \left( x_{2} - x_{1} \right);\)
\(x_{2} - x_{1} = \sqrt{D},\)
\(x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = \dfrac{1}{4}\left( \left( k - p + \sqrt{D} \right)^{2} - \left( k - p - \sqrt{D} \right)^{2} \right) = (k - p)\sqrt{D};\)
\(x_{2}^{3} - x_{1}^{3} = \dfrac{1}{4}\sqrt{D}\left( 3(k - p)^{2} + D \right);\)
\(S = - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}\sqrt{D}\left( 3(k - p)^{2} + D \right) + \left( \dfrac{k - p}{2} \right)(k - p)\sqrt{D} + \sqrt{D} =\)
\(= \sqrt{D}\left( \dfrac{1}{4}(k - p)^{2} - \dfrac{1}{12}D + 1 \right);\)

Распишем дискриминант

\(S = \sqrt{(p - k)^{2} + 4}\left( \dfrac{1}{4}(k - p)^{2} - \dfrac{1}{12}(k - p)^{2} - \dfrac{1}{3} + 1 \right) =\)
\(= \dfrac{1}{6}\sqrt{(p - k)^{2} + 4}\left( (k - p)^{2} + 4 \right).\)

Найдём минимум данной функции

\((p - k)^{2} + 4 = z,\)
\(S(z) = \dfrac{1}{6}z\sqrt{z},\)
\(S(z)\) – возрастающая функция, где
\(z \geqslant 4\). Тогда минимальное значение при \(z = 4\), \((p - k)^{2} = 4 - 4\), \(p = k\).