Страница 309 номер 1023, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(y = x^{2} + 10\) и касательными

к этой параболе, проведёнными

из точки \((0;\ 1)\)

Уравнение прямой в общем виде:

\(y = kx + b.\)
\(1 = k \cdot 0 + b, b = 1.\)
\(y = kx + 1.\)

Уравнение касательной:

\(y = f\left( x_{0} \right) + k\left( x - x_{0} \right).\)
\(kx + 1 = x_{0}^{2} + 10 + k\left( x - x_{0} \right),\)
\(x_{0}^{2} - kx_{0} + 9 = 0, k = f'\left( x_{0} \right) = 2x_{0};\)
\(x_{0}^{2} - 2x_{0}^{2} + 9 = 0, 9 = x_{0}^{2}, x_{0} = \pm 3;\)
\(k = \pm 6\), \(y = 6x + 1\) и \(y = - 6x + 1\).
\(S = 2S_{1} = 2\int_{0}^{3}{\left( x^{2} + 10 - 6x - 1 \right)dx} = 2\left. \ \left( \dfrac{x^{3}}{3} + 9x - 3x^{2} \right) \right|_{0}^{3} =\)
\(= 2(9 + 27 - 27) = 18;\)

2) \(x = 1\), \(y = \frac{1}{x}\) и касательной

к этой гиперболе, в точке с абсциссой

\(x = 2\)

Касательная: \(y'(x) = - \frac{1}{x^{2}}\),

\(y'\left( x_{0} \right) = - \dfrac{1}{4},\)
\(y = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}(x - 2) = - \dfrac{1}{4}x + 1.\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком
\(y = \frac{1}{x}\) (синий график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = - \frac{1}{4}x + 1\) (красный график);
\(S = S_{1} - S_{2} = \int_{1}^{2}{\left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4}x - 1 \right)dx} = \left. \ \left( \ln x + \dfrac{x^{2}}{8} - x \right) \right|_{1}^{2} =\)
\(= \ln 2 + \dfrac{1}{2} - 2 - \ln 1 - \dfrac{1}{8} + 1 = \ln 2 - \dfrac{5}{8}.\)