Страница 309 номер 1024, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Фигура ограничена линиями \(y = x^2 + 1\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 1\). Найти точку \((x_0;\ y_0)\) графика функции \(y = x^2 + 1\), через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.
Уравнение касательной: \(y = f\left( x_{0} \right) + f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)\)
\(y = x_{0}^{2} + 1 + 2x_{0}x - 2x_{0}^{2} = 2x_{0}x - x_{0}^{2} + 1;\)
Площадь искомой трапеции:
\(S = \int_{0}^{1}{\left( 2x_{0}x - x_{0}^{2} + 1 \right)dx} = \left. \ x_{0}x^{2} - x_{0}^{2}x + x \right|_{0}^{1} = x_{0} - x_{0}^{2} + 1;\)
Наибольшее значение будет достигаться при:
\(S'\left( x_{0} \right) = 1 - 2x_{0}, 2x_{0} - 1 = 0, x_{0} = \dfrac{1}{2};\)
\(x_{0} \in [0;\ 1]\) (точка касания – на границе фигуры), \(x_{0} = \frac{1}{2}\) – единственная стационарная точка на этом отрезке;
\(S'\left( x_{0} \right) > 0\) при \(0 \leqslant x_{0} < \frac{1}{2}\), \(S'\left( x_{0} \right) < 0\) при \(\frac{1}{2} < x_{0} \leqslant 1\), значит, \(x_{0} = \frac{1}{2}\) – точка максимума и площадь в ней наибольшая;
\(y_{0} = x_{0}^{2} + 1 = 1\dfrac{1}{4}.\)
Ответ: \(\left( \frac{1}{2};\ 1\frac{1}{4} \right)\).
