Страница 309 номер 1019, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(y = \sin x\), отрезком \([ 0;\pi]\) оси \(Ox\) и прямой,

проходящей через точки \((0;\ 0)\) и \(\left( \frac{\pi}{2};\ 1 \right)\)

Уравнение прямой в общем виде:

\(y = kx + b.\)

Подставляя точки: \(0 = k \cdot 0 + b\), \(b = 0\);

\(1 = k \cdot \dfrac{\pi}{2}, k = \dfrac{2}{\pi};\)
\(y = \dfrac{2}{\pi} \cdot x;\)
\(S = S_{1} + S_{2} =\)
\(= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\dfrac{2}{\pi}xdx} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\sin xdx} = \left. \ \dfrac{x^{2}}{\pi} \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left. \ \cos x \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \dfrac{\pi}{4} + 1;\)

2) \(y = \sin x\), \(y = \cos x\) и отрезком \(\left[ 0;\frac{\pi}{2} \right]\) оси \(Ox\)
\(\sin x = \cos x, \operatorname{tg} x = 1, x = \dfrac{\pi}{4};\)
\(S = S_{1} + S_{2} =\)
\(= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sin xdx} + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} =\)
\(= \left. \ - \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left. \ \sin x \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 + 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} =\)
\(= 2 - \sqrt{2}.\)