Страница 309 номер 1021, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1014—1023). 1) Параболой \(y = 2 - x^2\) и прямой \(y = -x\); 2) прямой \(y = 1\), осью \(Oy\) и графиком функции \(y = \sin x\) при \(0 \le x \le \frac{\pi}{2}\).
1) \(y = 2 - x^{2}\), \(y = - x\)
\(2 - x^{2} = - x, x^{2} - x - 2 = 0,\)
\(x_{1} = - 1, x_{2} = 2;\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком \(y = 2 - x^{2}\) (синий график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = - x\) (красный график);
Необходимо перенести обе функции по оси \(Oy\) на две единицы вверх. Тогда
\(y = 4 - x^{2}\) и \(y = 2 - x\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком \(y = 4 - x^{2}\) (синий график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = 2 - x\) (красный график);
\(S = S_{1} - S_{2} = \int_{-1}^{2}{\left( 4 - x^{2} - 2 + x \right)dx} =\)
\(= \left. \ \left( 2x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{2}}{2} \right) \right|_{-1}^{2} = 4 - \dfrac{8}{3} + 2 + 2 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = 5 - \dfrac{1}{2} = 4\dfrac{1}{2};\)
2) \(y = 1\), \(Oy\), \(y = \sin x\) при \(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком \(y = 1\) (синий график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = \sin x\) (красный график);
\(S = S_{1} - S_{2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( 1 - \sin x \right)dx} =\)
\(= \left. \ \left( x + \cos x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi}{2} - 1.\)
