Страница 316 номер 1040, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Глава 10. Интеграл. Упражнения к главе 10. Страница 316. Номер 1040

Задание / условие:

Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой \(y = x^2 - 2x + 2\), касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью \(Oy\), и прямой \(x = 1\); 2) гиперболой \(y = \frac{4}{x}\), касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой \(x = 2\), и прямыми \(y = 0\), \(x = 6\).

Решение:

1) параболой \(y = x^{2} - 2x + 2\), касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью \(Oy\), и прямой \(x = 1\)

Пересечение с осью \(Oy\):

\(0 - 0 + 2 = 2\) – \((0;\ 2)\);

Уравнение касательной: \(y'(x) = 2x - 2\),

\(y'(0) = - 2, y = 2 - 2x;\)
\(S = S_{1} - S_{2} =\)
\(= \int_{0}^{1}{\left( x^{2} - 2x + 2 - 2 + 2x \right)dx} = \left. \ \dfrac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{3};\)

график

2) гиперболой \(y = \frac{4}{x}\), касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой
\(x = 2\), и прямыми \(y = 0\), \(x = 6\)

Уравнение касательной: \(y'(x) = - \frac{4}{x^{2}}\);

\(y'(2) = - 1, y = 2 - (x - 2) = 4 - x;\)
\(4 - x = 0, x = 4;\)
\(S = S_{1} - S_{2} = \int_{2}^{6}{\dfrac{4}{x}dx} - \int_{2}^{4}{(4 - x)dx} =\)
\(= \left. \ 4\ln x \right|_{2}^{6} - \left. \ \left( 4x - \dfrac{x^{2}}{2} \right) \right|_{2}^{4} = 4\ln 3 - 16 +\)
\(+ 8 + 8 - 2 = 4\ln 3 - 2.\)

график