Страница 315 проверочная работа, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
\(F'(x) = 2e^{2x} + 3x^{2} + \sin x.\)
\(F(x) = x^{3} + x^{2} - 3x + C,\)
\(- 2 = 1 + 1 - 3 + C, C = - 1,\)
\(F(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 1.\)
1) \(\int\limits_{1}^{2} 3x^3\,dx\); 2) \(\int\limits_{2}^{4} \frac{dx}{x^2}\); 3) \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx\); 4) \(\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x\,dx\).
1) \(\int_{1}^{2}{3x^{3}dx} = \left. \ \frac{3}{4}x^{4} \right|_{1}^{2} = \frac{3}{4}(16 - 1) = \frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}\);
2) \(\int_{2}^{4}\frac{dx}{x^{2}} = \left. \ - \frac{1}{x} \right|_{2}^{4} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\);
3) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} = \left. \ \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1\);
4) \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\sin{2x}dx} = \left. \ - \frac{1}{2}\cos{2x} \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = - \frac{1}{2}(1 + 1) = - 1\).
1) параболой \(y = x^2 + x - 6\) и осью \(Ox\); 2) графиками функций \(y = x^2 + 1\) и \(y = 10\).
1) параболой \(y = x^{2} + x - 6\) и осью \(Ox\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2},\)
\(x_{1} = 2, x_{2} = - 3;\)
Рассмотрим симметричный случай
\(y = - x^{2} - x + 6.\)
\(S = \int_{-3}^{2}{\left(-x^{2} - x + 6 \right)dx} =\)
\(= \left. \ \left(-\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{2}}{2} + 6x \right) \right|_{-3}^{2} =\)
\(= - \dfrac{8}{3} - 2 + 12 - 9 + \dfrac{9}{2} + 18 =\)
\(= 20\dfrac{5}{6};\)
2) графиками функций \(y = x^{2} + 1\) и
\(y = 10\)
\(x^{2} + 1 - 10 = 0,\)
\(x_{1} = - 3, x_{2} = 3;\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком \(y = 10\) (красный график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(x^{2} + 1\);
\(S = \int_{-3}^{3}{\left( 10 - x^{2} - 1 \right)dx} = \left. \ \left( 10x - \dfrac{x^{3}}{3} - x \right) \right|_{-3}^{3} =\)
\(= 30 - 9 - 3 + 30 - 9 - 3 = 36.\)
