Страница 309 номер 1022, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(y = - x^{2} + 4x - 3\),

прямой проходящей через

точки \((1;\ 0)\) и \((0; - 3)\)

Прямая в общем виде: \(y = kx + b\).

\(- 3 = k \cdot 0 + b, b = - 3\)
\(0 = k - 3, k = 3\)
\(y = 3x - 3;\)
\(- x^{2} + 4x - 3 = 3x - 3, x^{2} - x = 0,\)
\(x_{1} = 0, x_{2} = 1;\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком
\(y = - x^{2} + 4x - 3\) (синий график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = 3x - 3\) (красный график);

Рассмотрим симметричный случай

\(y = x^{2} - 4x + 3\) и \(y = 3 - 3x\). Тогда
\(S_{1}\) – площадь под графиком
\(y = 3 - 3x\) (синий график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком
\(y = x^{2} - 4x + 3\) (красный график);
\(S = S_{1} - S_{2} =\)
\(= \int_{0}^{1}{\left( 3 - 3x - x^{2} + 4x - 3 \right)dx} =\)
\(= \left. \ \left( \dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{3}}{3} \right) \right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6};\)

2) \(y = - x^{2}\), \(y = - 2\)
\(- x^{2} = - 2, x^{2} = 2, x_{1{,}2} = \pm \sqrt{2};\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком
\(y = - x^{2}\) (синий график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = - 2\) (красный график);

Рассмотрим симметричные функции

\(y = x^{2}\) и \(y = 2\).

Тогда

\(S_{1}\) – площадь под графиком \(y = 2\) (синий график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = x^{2}\) (красный график);
\(S = S_{1} - S_{2} = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{\left( 2 - x^{2} \right)dx} =\)
\(= \left. \ \left( 2x - \dfrac{x^{3}}{3} \right) \right|_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} =\)
\(= 2\sqrt{2} - \dfrac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} - \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = \dfrac{8\sqrt{2}}{3};\)

3) \(y = 1 - x^{2}\), \(y = x^{2} - 1\)
\(1 - x^{2} = x^{2} - 1, x^{2} = 1, x_{1{,}2} = \pm 1;\)

Площадь фигуры равна удвоенной площади под графиком \(y = 1 - x^{2}\).

\(S = 2S_{1} = 2\int_{-1}^{1}{\left( 1 - x^{2} \right)dx} =\)
\(= \left. \ 2\left( x - \dfrac{x^{3}}{3} \right) \right|_{-1}^{1} =\)
\(= 2\left( 1 - \dfrac{1}{3} + 1 - \dfrac{1}{3} \right) = 2\dfrac{2}{3};\)

4) \(y = x^{3}\), \(y = 1\), \(x = - 2\)
\(x^{3} = 1, x = 1;\)

Площадь красной фигуры равна

\(S = 2 \cdot 1 = 2;\)

Площадь синей фигуры равна

\(S = 1 \cdot 1 - \int_{0}^{1}{x^{3}dx} = 1 - \left. \ \dfrac{x^{4}}{4} \right|_{0}^{1} = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

Площадь жёлтой фигуры равна

\(S = \int_{-2}^{0}{-x^{3}dx} = \left. \ - \dfrac{x^{4}}{4} \right|_{-2}^{0} = 4.\)

Тогда суммарная площадь равна

\(S = 2 + \dfrac{3}{4} + 4 = 6\dfrac{3}{4}.\)