Страница 308 номер 1015, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(y = \sqrt{x}\), \(y = (x - 2)^{2}\), \(Ox\)
\(\sqrt{x} = 0, x = 0;\)
\((x - 2)^{2} = 0, x = 2;\)
\(\sqrt{x} = (x - 2)^{2}\): при \(0 \leqslant x \leqslant 2\) левая часть возрастает, правая убывает, поэтому корень один — \(x = 1\) (\(\sqrt{1} = (1 - 2)^{2} = 1\));
\(S = S_{1} + S_{2} = \int_{0}^{1}{\sqrt{x}dx} + \int_{1}^{2}{(x - 2)^{2}dx} =\)
\(= \left. \ \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{1} + \left. \ \dfrac{(x - 2)^{3}}{3} \right|_{1}^{2} =\)
\(= \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1;\)

2) \(y = x^{3}\), \(y = 2x - x^{2}\), \(Ox\)
\(2x - x^{2} = 0, x_{1} = 0, x_{2} = 2;\)
\(x^{3} = 2x - x^{2}, x\left( x^{2} + x - 2 \right) = 0,\)
\(x_{1} = 0, x_{2} = 1, x_{3} = - 2;\)
\(x = - 2\) не подходит: по рисунку фигура лежит при \(0 \leqslant x \leqslant 2\);
\(S = S_{1} + S_{2} =\)
\(= \int_{0}^{1}{x^{3}dx} + \int_{1}^{2}{\left( 2x - x^{2} \right)dx} =\)
\(= \left. \ \dfrac{x^{4}}{4} \right|_{0}^{1} + \left. \ \left( x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3} \right) \right|_{1}^{2} =\)
\(= \dfrac{1}{4} + 4 - \dfrac{8}{3} - 1 + \dfrac{1}{3} = 3 - \dfrac{25}{12} = \dfrac{11}{12}.\)