Страница 154 номер 6.3.51, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Три числа составляют арифметическую прогрессию, а их квадраты — геометрическую прогрессию. Указать возможные значения знаменателя геометрической прогрессии.
Обозначим три числа арифметической прогрессии через \(a - d\), \(a\), \(a + d\), где \(a\) — её средний член, \(d\) — разность. Их квадраты \((a - d)^2\), \(a^2\), \((a + d)^2\) составляют геометрическую прогрессию, поэтому все они отличны от нуля; в частности, \(a \ne 0\).
По свойству геометрической прогрессии \[\left(a^2\right)^2 = (a - d)^2(a + d)^2.\]
Правая часть равна \(\left((a - d)(a + d)\right)^2 = \left(a^2 - d^2\right)^2\), поэтому \(\left(a^2\right)^2 - \left(a^2 - d^2\right)^2 = 0\). Разложим разность квадратов на множители: \[\left(a^2 - a^2 + d^2\right)\left(a^2 + a^2 - d^2\right) = 0, \qquad d^2\left(2a^2 - d^2\right) = 0.\]
Первый случай: \(d = 0\). Все три числа равны \(a\), их квадраты равны \(a^2\), и знаменатель геометрической прогрессии \(q = 1\).
Второй случай: \(d^2 = 2a^2\), то есть \(d = a\sqrt{2}\) или \(d = -a\sqrt{2}\). В обоих случаях \(a - d \ne 0\) и \(a + d \ne 0\), так что квадраты этих чисел отличны от нуля. Знаменатель прогрессии из квадратов \(q = \frac{a^2}{(a - d)^2}\).
При \(d = a\sqrt{2}\) имеем \((a - d)^2 = a^2\left(1 - \sqrt{2}\right)^2 = a^2\left(3 - 2\sqrt{2}\right)\), поэтому \[q = \frac{a^2}{a^2\left(3 - 2\sqrt{2}\right)} = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}.\] Так как \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)\left(3 + 2\sqrt{2}\right) = 9 - 8 = 1\), после умножения числителя и знаменателя на \(3 + 2\sqrt{2}\) получаем \(q = 3 + 2\sqrt{2}\).
При \(d = -a\sqrt{2}\) имеем \((a - d)^2 = a^2\left(1 + \sqrt{2}\right)^2 = a^2\left(3 + 2\sqrt{2}\right)\), поэтому \(q = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}\).
Ответ: \(q_1 = 1\), \(q_2 = 3 - 2\sqrt{2}\), \(q_3 = 3 + 2\sqrt{2}\).
Три числа составляют арифметическую прогрессию, а их квадраты — геометрическую прогрессию. Указать возможные значения знаменателя геометрической прогрессии.
Обозначим три числа арифметической прогрессии через \(a - d\), \(a\), \(a + d\), где \(a\) — её средний член, \(d\) — разность. Их квадраты \((a - d)^2\), \(a^2\), \((a + d)^2\) составляют геометрическую прогрессию, поэтому все они отличны от нуля; в частности, \(a \ne 0\).
По свойству геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению крайних: \[\left(a^2\right)^2 = (a - d)^2(a + d)^2.\]
Правая часть равна \(\left((a - d)(a + d)\right)^2 = \left(a^2 - d^2\right)^2\), поэтому \[\left(a^2\right)^2 - \left(a^2 - d^2\right)^2 = 0.\]
Разложим разность квадратов на множители: \[\left(a^2 - a^2 + d^2\right)\left(a^2 + a^2 - d^2\right) = 0, \qquad d^2\left(2a^2 - d^2\right) = 0.\]
Первый случай: \(d = 0\). Все три числа равны \(a\), их квадраты равны \(a^2\), и знаменатель геометрической прогрессии \(q = 1\).
Второй случай: \(d^2 = 2a^2\), то есть \(d = a\sqrt{2}\) или \(d = -a\sqrt{2}\). В обоих случаях \(a - d \ne 0\) и \(a + d \ne 0\), так что квадраты этих чисел отличны от нуля.
Знаменатель прогрессии из квадратов равен отношению второго члена к первому: \(q = \frac{a^2}{(a - d)^2}\).
При \(d = a\sqrt{2}\) имеем \((a - d)^2 = a^2\left(1 - \sqrt{2}\right)^2 = a^2\left(3 - 2\sqrt{2}\right)\), поэтому \[q = \frac{a^2}{a^2\left(3 - 2\sqrt{2}\right)} = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}.\]
Так как \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)\left(3 + 2\sqrt{2}\right) = 9 - 8 = 1\), после умножения числителя и знаменателя на \(3 + 2\sqrt{2}\) получаем \(q = 3 + 2\sqrt{2}\).
При \(d = -a\sqrt{2}\) имеем \((a - d)^2 = a^2\left(1 + \sqrt{2}\right)^2 = a^2\left(3 + 2\sqrt{2}\right)\), поэтому \[q = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}.\]
Ответ: \(q_1 = 1\), \(q_2 = 3 - 2\sqrt{2}\), \(q_3 = 3 + 2\sqrt{2}\).
