Проверочная работа. 7 класс. вариант 1 на страницах 155-157, ГДЗ по алгебре за 7 класс к сборнику задач и упражнений Ткачевой

Обыкновенная дробь обращается в десятичную делением числителя на знаменатель. При делении 7 на 9 в частном получается бесконечная десятичная дробь, у которой все цифры после запятой — семёрки: \(0{,}7777\ldots\) Повторяющуюся группу цифр называют периодом и записывают в скобках: \(\frac{7}{9} = 0{,}(7)\).

При округлении до сотых отбрасывают все цифры, начиная с третьей после запятой. Первая отброшенная цифра — 7, она больше 5, поэтому цифру сотых увеличивают на единицу.

Ответ: \(\frac{7}{9} = 0{,}(7)\); после округления до сотых \(0{,}78\).

Представим кубом каждый множитель: \(8 = 2^3\), а \(27^2 = \left(3^3\right)^2 = 3^6 = \left(3^2\right)^3 = 9^3\).

При возведении в степень произведения в эту степень возводят каждый множитель, поэтому равенство \(a^3b^3 = (ab)^3\) читается и справа налево: \[8 \cdot 27^2 = 2^3 \cdot 9^3 = (2 \cdot 9)^3 = 18^3.\]

Ответ: \(18^3\).

Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго и приведём подобные слагаемые: \[(-14 + 3b)(2b - 5) = -28b + 70 + 6b^2 - 15b = 6b^2 - 43b + 70.\]

Ответ: \(6b^2 - 43b + 70\).

1) Наибольший общий множитель членов многочлена равен \(8a^4b^8\). Вынесем его за скобки: \[24a^5b^8 - 16a^4b^9 = 8a^4b^8(3a - 2b).\]

2) \(0{,}09 = 0{,}3^2\), а \(c^4 = \left(c^2\right)^2\), поэтому применима формула разности квадратов: \[0{,}09 - c^4 = 0{,}3^2 - \left(c^2\right)^2 = \left(0{,}3 - c^2\right)\left(0{,}3 + c^2\right).\]

Ответ: 1) \(8a^4b^8(3a - 2b)\); 2) \(\left(0{,}3 - c^2\right)\left(0{,}3 + c^2\right)\).

Применим формулу куба суммы, в которой первое выражение равно \(2a\), а второе равно 1: \[(2a + 1)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2a \cdot 1^2 + 1^3 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1.\]

Ответ: \(8a^3 + 12a^2 + 6a + 1\).

1) Перед скобками стоит знак «минус», поэтому при раскрытии скобок знак каждого слагаемого меняется на противоположный: \[13x - x + 2 = 1, \\ 12x = -1, \\ x = -\frac{1}{12}.\]

2) Раскроем скобки в правой части: \(2(9x - 0{,}5) = 18x - 1\). Уравнение принимает вид \[18x + 1{,}6 = 18x - 1.\] Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: \[18x - 18x = -1 - 1{,}6, \\ 0 \cdot x = -2{,}6.\] Произведение \(0 \cdot x\) равно нулю при любом \(x\) и числу \(-2{,}6\) равняться не может, поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ: 1) \(-\frac{1}{12}\); 2) корней нет.

Дано:
прямоугольник
\(P = 48\) см
длина больше ширины на 2 см

Найти: стороны прямоугольника.

Решение:

Пусть ширина прямоугольника равна \(x\) см, тогда длина равна \((x + 2)\) см. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме двух его соседних сторон, поэтому \[2(x + x + 2) = 48.\] Решим это уравнение: \[4x + 4 = 48, \\ 4x = 44, \\ x = 11.\] Ширина равна 11 см, тогда длина равна \(11 + 2 = 13\) (см).

Проверка: \(2 \cdot (13 + 11) = 48\) (см) — периметр прямоугольника; \(13 - 11 = 2\) (см) — на столько длина больше ширины.

Ответ: длина 13 см, ширина 11 см.

Умножим все члены первого уравнения на \(-2\), чтобы коэффициенты при \(x\) стали противоположными числами: \[\begin{cases} -6x + 4y = -24, \\ 6x + 5y = -3. \end{cases}\] Сложив почленно левые и правые части, получим уравнение с одной переменной: \[9y = -27, \\ y = -3.\] Подставим \(y = -3\) в первое уравнение данной системы: \[3x - 2 \cdot (-3) = 12, \\ 3x = 6, \\ x = 2.\]

Проверка: \(3 \cdot 2 - 2 \cdot (-3) = 12\); \(6 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) = -3\).

Ответ: \((2;\ -3)\).

Функция линейная, её графиком служит прямая, а для построения прямой достаточно двух точек. Если \(x = 0\), то \(y = 3\); если \(x = 6\), то \(y = -\frac{6}{2} + 3 = 0\).

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 3 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Проводим прямую через точки \((0;\ 3)\) и \((6;\ 0)\).

Ответ: графиком служит прямая, проходящая через точки \((0;\ 3)\) и \((6;\ 0)\).

В точке пересечения графиков значения обеих функций при одном и том же \(x\) совпадают, поэтому приравняем правые части формул: \[-0{,}3x - 4 = 0{,}2x + 1.\] Решим полученное уравнение: \[-0{,}3x - 0{,}2x = 1 + 4, \\ -0{,}5x = 5, \\ x = -10.\] Подставим \(x = -10\) во вторую формулу: \(y = 0{,}2 \cdot (-10) + 1 = -1\).

Ответ: \((-10;\ -1)\).

Числа 9 и 27 — степени тройки: \(9 = 3^2\) и \(27 = 3^3\). При возведении степени в степень показатели перемножают, при умножении степеней с одинаковыми основаниями складывают, при делении вычитают: \[\frac{9^2 \cdot 3^3}{27} = \frac{\left(3^2\right)^2 \cdot 3^3}{3^3} = 3^{4 + 3 - 3} = 3^4 = 81.\]

Ответ: 81.

Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} &\left(2n^2 - 5n\right)\left(3n^3 - 4n^2 + 2n - 1\right) = {} \\ &= 6n^5 - 8n^4 + 4n^3 - 2n^2 - 15n^4 + 20n^3 - 10n^2 + 5n = {} \\ &= 6n^5 - 23n^4 + 24n^3 - 12n^2 + 5n. \end{aligned}\] Степень многочлена стандартного вида равна наибольшей из степеней входящих в него одночленов; наибольшая степень у одночлена \(6n^5\), она равна 5.

Ответ: \(6n^5 - 23n^4 + 24n^3 - 12n^2 + 5n\); степень многочлена равна 5.

1) Вынесем за скобки общий множитель \(a\), а разность в скобках разложим по формуле разности кубов: \[a - a^4 = a\left(1 - a^3\right) = a(1 - a)\left(1 + a + a^2\right).\]

2) \(\frac{a^2}{4} = \left(\frac{a}{2}\right)^2\), а слагаемое \(a = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot 1\) — удвоенное произведение выражений \(\frac{a}{2}\) и 1. Значит, перед нами квадрат разности: \[\frac{a^2}{4} - a + 1 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot 1 + 1^2 = \left(\frac{a}{2} - 1\right)^2.\]

3) Первые три члена образуют квадрат суммы выражений \(b^2\) и \(3c^3\): \[b^4 + 6b^2c^3 + 9c^6 = \left(b^2\right)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 3c^3 + \left(3c^3\right)^2 = \left(b^2 + 3c^3\right)^2.\] Тогда всё выражение — разность квадратов: \[b^4 + 6b^2c^3 + 9c^6 - 16d^2 = \left(b^2 + 3c^3\right)^2 - (4d)^2 = \left(b^2 + 3c^3 - 4d\right)\left(b^2 + 3c^3 + 4d\right).\]

Ответ: 1) \(a(1 - a)\left(1 + a + a^2\right)\); 2) \(\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2\); 3) \(\left(b^2 + 3c^3 - 4d\right)\left(b^2 + 3c^3 + 4d\right)\).

1) Левая часть равенства — числовая дробь, её значение равно \(2{,}16 : 0{,}72 = 3\). Уравнение принимает вид \(\frac{5x}{0{,}7} = 3\), откуда \[5x = 3 \cdot 0{,}7, \\ 5x = 2{,}1, \\ x = 0{,}42.\]

2) Модуль числа равен 5 в двух случаях: когда само число равно 5 и когда оно равно \(-5\). Значит, \(8x - 3 = 5\) или \(8x - 3 = -5\).

Из первого уравнения \(8x = 8\), \(x = 1\); из второго \(8x = -2\), \(x = -0{,}25\).

Ответ: 1) \(0{,}42\); 2) \(-0{,}25\) и 1.

Решение системы обращает каждое её уравнение в верное равенство. Подставим \(x = -3\) и \(y = 2\) в первое уравнение: \[(a - 2) \cdot (-3) + b \cdot 2 = 14, \\ -3a + 6 + 2b = 14, \\ -3a + 2b = 8.\] Подставим те же значения во второе уравнение: \[(a + 3) \cdot (-3) - (1 + b) \cdot 2 = 5, \\ -3a - 9 - 2 - 2b = 5, \\ -3a - 2b = 16.\] В полученных равенствах коэффициенты при \(b\) противоположны. Сложим равенства почленно: \[-6a = 24, \\ a = -4.\] Подставим \(a = -4\) в равенство \(-3a + 2b = 8\): \[12 + 2b = 8, \\ 2b = -4, \\ b = -2.\]

Ответ: \(a = -4\), \(b = -2\).

Дано:
\(s = 1400\) км
\(t = 7\) ч — время до встречи при одновременном выезде
первый выезжает на 2 ч раньше — встреча через 6 ч 12 мин после выезда второго

Найти: скорости автомобилей.

Решение:

Пусть \(x\) — скорость первого автомобиля, км/ч, а \(y\) — скорость второго автомобиля, км/ч. Двигаясь навстречу друг другу, за 7 ч автомобили вместе проехали всё расстояние: \[7(x + y) = 1400, \\ x + y = 200.\]

12 мин составляют \(\frac{12}{60} = 0{,}2\) ч, поэтому 6 ч 12 мин — это \(6{,}2\) ч. Во втором случае второй автомобиль был в пути 6,2 ч, а первый — на 2 ч дольше, то есть \(2 + 6{,}2 = 8{,}2\) (ч). Вместе они снова проехали 1400 км: \[8{,}2x + 6{,}2y = 1400.\]

Получаем систему \[\begin{cases} x + y = 200, \\ 8{,}2x + 6{,}2y = 1400. \end{cases}\] Выразим из первого уравнения \(y = 200 - x\) и подставим во второе: \[8{,}2x + 6{,}2(200 - x) = 1400, \\ 8{,}2x + 1240 - 6{,}2x = 1400, \\ 2x = 160, \\ x = 80.\] Тогда \(y = 200 - 80 = 120\).

Проверка: \(7 \cdot (80 + 120) = 1400\) (км); \(8{,}2 \cdot 80 + 6{,}2 \cdot 120 = 656 + 744 = 1400\) (км).

Ответ: скорость первого автомобиля 80 км/ч, скорость второго 120 км/ч.

Графиком служит прямая, поэтому функция линейная и задаётся формулой \(y = kx + b\). Сторона клетки на рисунке равна единичному отрезку.

Прямая пересекает ось \(y\) в точке \((0;\ -2)\), а при \(x = 0\) значение линейной функции равно \(b\), поэтому \(b = -2\).

Кроме того, прямая проходит через точку \((-3;\ 0)\). Подставим её координаты в формулу \(y = kx - 2\): \[0 = -3k - 2, \\ 3k = -2, \\ k = -\frac{2}{3}.\]

Ответ: \(y = -\frac{2}{3}x - 2\).

Дано:
цена снизилась на 20 %
затем цена повысилась на 10 %

Найти: как изменилась цена по сравнению с первоначальной.

Решение:

Пусть первоначальная цена изделия равна \(a\) р. Снижение на 20 % означает, что новая цена составляет \(100\,\% - 20\,\% = 80\,\%\) прежней, то есть равна \(0{,}8a\) р.

Повышение на 10 % означает, что цена стала составлять \(100\,\% + 10\,\% = 110\,\%\) от \(0{,}8a\), то есть равна \(0{,}8a \cdot 1{,}1 = 0{,}88a\) (р.).

Окончательная цена составляет 88 % первоначальной, значит, она меньше первоначальной на \(100\,\% - 88\,\% = 12\,\%\).

Ответ: цена снизилась на 12 %.

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 25, то есть когда число оканчивается на 00, 25, 50 или 75. Значит, подходить могут только числа 38 400, 38 425, 38 450 и 38 475.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Найдём суммы цифр: \[3 + 8 + 4 + 0 + 0 = 15, \qquad 3 + 8 + 4 + 2 + 5 = 22,\] \[3 + 8 + 4 + 5 + 0 = 20, \qquad 3 + 8 + 4 + 7 + 5 = 27.\] На 3 делятся только суммы 15 и 27, поэтому условию отвечают числа 38 400 и 38 475.

Ответ: дописать 00 или 75, то есть получить число 38 400 или 38 475.

В числителе применим свойства степени: при возведении степени в степень показатели перемножают, при умножении степеней с одинаковыми основаниями складывают: \[\left(a^3\right)^{2n + 1} \cdot a^{m - 5} = a^{6n + 3} \cdot a^{m - 5} = a^{6n + m - 2}.\] Так же преобразуем знаменатель: \[\left(a^{n - 3} \cdot a^{m + 2}\right)^2 = \left(a^{n + m - 1}\right)^2 = a^{2n + 2m - 2}.\] При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают: \[\frac{a^{6n + m - 2}}{a^{2n + 2m - 2}} = a^{(6n + m - 2) - (2n + 2m - 2)} = a^{4n - m}.\]

Ответ: \(a^{4n - m}\).

Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвёртым и вынесем из каждой группы общий множитель: \[\begin{aligned} &20a^4b - 4a^3 - 15ab + 3 = {} \\ &= 4a^3(5ab - 1) - 3(5ab - 1) = {} \\ &= \left(4a^3 - 3\right)(5ab - 1). \end{aligned}\]

Ответ: \(\left(4a^3 - 3\right)(5ab - 1)\).

Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а остальные — в правую: \[ax - 2x = a - 5, \\ (a - 2)x = a - 5.\] Получилось линейное уравнение с коэффициентом \(a - 2\) при переменной.

Если \(a = 2\), то уравнение принимает вид \(0 \cdot x = -3\); ни при каком \(x\) это равенство не верно, значит, корней нет.

Если \(a \ne 2\), то обе части можно разделить на \(a - 2\), и уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a - 5}{a - 2}\).

Ответ: при \(a = 2\) корней нет; при \(a \ne 2\) единственный корень \(x = \frac{a - 5}{a - 2}\).

Выразим из первого уравнения \(y = m - x\) и подставим во второе: \[mx + m - x = 1, \\ (m - 1)x = 1 - m.\]

Если \(m \ne 1\), то \(x = \frac{1 - m}{m - 1} = -1\), и тогда \(y = m - (-1) = m + 1\). Система имеет единственное решение \((-1;\ m + 1)\).

Если \(m = 1\), то уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 0\) и ему удовлетворяет любое число; тогда оба уравнения системы совпадают, и решений у неё бесконечно много.

Ответ: при \(m \ne 1\).

При \(x \leqslant 0\) график задаётся формулой \(y = |x + 1|\). По определению модуля \(|x + 1| = x + 1\), если \(x + 1 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -1\), и \(|x + 1| = -x - 1\), если \(x < -1\).

Поэтому на промежутке \(-1 \leqslant x \leqslant 0\) график — отрезок прямой \(y = x + 1\) от точки \((-1;\ 0)\) до точки \((0;\ 1)\), а при \(x < -1\) — луч прямой \(y = -x - 1\), идущий из точки \((-1;\ 0)\) влево вверх.

При \(x > 0\) значение функции постоянно и равно 1: это горизонтальный луч, выходящий из точки \((0;\ 1)\) вправо. В точке \((0;\ 1)\) куски графика сходятся, разрыва нет.

Ответ: график состоит из луча прямой \(y = -x - 1\) при \(x \leqslant -1\), отрезка прямой \(y = x + 1\) от точки \((-1;\ 0)\) до точки \((0;\ 1)\) и горизонтального луча \(y = 1\) при \(x \geqslant 0\).