Страница 151 номер 6.3.26, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если разность её седьмого и пятого членов равна \(-48\), а разность шестого и четвёртого равна \(-24\).
По формуле \(n\)-го члена \(b_4 = b_1q^3\), \(b_5 = b_1q^4\), \(b_6 = b_1q^5\), \(b_7 = b_1q^6\), и условие даёт систему \[\begin{cases} b_1q^6 - b_1q^4 = -48, \\ b_1q^5 - b_1q^3 = -24 \end{cases}\]
Левая часть первого уравнения получается из левой части второго умножением на \(q\): \[b_1q^6 - b_1q^4 = q\left(b_1q^5 - b_1q^3\right) = -24q.\]
Значит, \(-24q = -48\) и \(q = 2\). Подставим \(q = 2\) во второе уравнение: \[b_1 \cdot 2^5 - b_1 \cdot 2^3 = -24,\qquad 32b_1 - 8b_1 = -24,\qquad 24b_1 = -24,\qquad b_1 = -1.\]
Проверка: прогрессия имеет вид \(-1\); \(-2\); \(-4\); \(-8\); \(-16\); \(-32\); \(-64\); … . Разность седьмого и пятого членов \(-64 - (-16) = -48\), разность шестого и четвёртого \(-32 - (-8) = -24\).
Ответ: \(b_1 = -1\), \(q = 2\).
Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если разность её седьмого и пятого членов равна \(-48\), а разность шестого и четвёртого равна \(-24\).
Выразим нужные члены через первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\) по формуле \(b_n = b_1q^{n-1}\): \[b_4 = b_1q^3,\qquad b_5 = b_1q^4,\qquad b_6 = b_1q^5,\qquad b_7 = b_1q^6.\]
Условие задачи даёт систему \[\begin{cases} b_1q^6 - b_1q^4 = -48, \\ b_1q^5 - b_1q^3 = -24 \end{cases}\]
Левая часть первого уравнения получается из левой части второго умножением на \(q\): \[b_1q^6 - b_1q^4 = q\left(b_1q^5 - b_1q^3\right) = -24q.\]
Значит, \(-24q = -48\) и \(q = 2\).
Подставим \(q = 2\) во второе уравнение: \[b_1 \cdot 2^5 - b_1 \cdot 2^3 = -24,\qquad 32b_1 - 8b_1 = -24,\qquad 24b_1 = -24,\qquad b_1 = -1.\]
Проверка: прогрессия имеет вид \(-1\); \(-2\); \(-4\); \(-8\); \(-16\); \(-32\); \(-64\); … . Разность седьмого и пятого членов \(-64 - (-16) = -48\), разность шестого и четвёртого \(-32 - (-8) = -24\).
Ответ: \(b_1 = -1\), \(q = 2\).
