Страница 154 номер 6.3.48, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что три последовательных члена арифметической прогрессии не могут быть последовательными членами геометрической прогрессии, если разность арифметической прогрессии отлична от нуля.
Пусть \(a_{n-1}\), \(a_n\), \(a_{n+1}\) — три последовательных члена арифметической прогрессии с разностью \(d\), причём \(d \ne 0\). Тогда \(a_{n-1} = a_n - d\) и \(a_{n+1} = a_n + d\).
Предположим, что эти три числа являются последовательными членами геометрической прогрессии. По свойству геометрической прогрессии \(a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\), поэтому \[a_n^2 = (a_n - d)(a_n + d) = a_n^2 - d^2.\]
Отсюда \(d^2 = 0\), то есть \(d = 0\), а это противоречит условию \(d \ne 0\).
Значит, предположение неверно: при \(d \ne 0\) три последовательных члена арифметической прогрессии не могут быть последовательными членами геометрической прогрессии.
Ответ: равенство \(a_n^2 = a_{n-1}a_{n+1}\) для трёх последовательных членов арифметической прогрессии возможно только при \(d = 0\), поэтому при ненулевой разности эти три члена последовательными членами геометрической прогрессии не являются.
Доказать, что три последовательных члена арифметической прогрессии не могут быть последовательными членами геометрической прогрессии, если разность арифметической прогрессии отлична от нуля.
Пусть \(a_{n-1}\), \(a_n\), \(a_{n+1}\) — три последовательных члена арифметической прогрессии с разностью \(d\), причём \(d \ne 0\). Тогда \(a_{n-1} = a_n - d\) и \(a_{n+1} = a_n + d\).
Предположим, что эти три числа являются последовательными членами геометрической прогрессии. По свойству геометрической прогрессии квадрат среднего из трёх её последовательных членов равен произведению крайних: \[a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}.\]
Подставим сюда выражения крайних членов через средний: \[a_n^2 = (a_n - d)(a_n + d) = a_n^2 - d^2.\]
Отсюда \(d^2 = 0\), то есть \(d = 0\), а это противоречит условию \(d \ne 0\).
Значит, предположение неверно: при \(d \ne 0\) три последовательных члена арифметической прогрессии не могут быть последовательными членами геометрической прогрессии.
Ответ: равенство \(a_n^2 = a_{n-1}a_{n+1}\) для трёх последовательных членов арифметической прогрессии возможно только при \(d = 0\), поэтому при ненулевой разности эти три члена последовательными членами геометрической прогрессии не являются.
