Итоговая работа. вариант 1 на страницах 170-171, ГДЗ по алгебре за 7 класс к сборнику задач и упражнений Ткачевой

\[0{,}25 \cdot 0{,}008 \cdot 4000 = 0{,}25 \cdot 4000 \cdot 0{,}008 = 1000 \cdot 0{,}008 = 8.\]

Ответ: 8.

Сторона клетки равна \(0{,}2\): между соседними целыми числами укладывается пять клеток.

Число \(\sqrt{93}\) заключено между двумя десятичными дробями с одним знаком после запятой: \(9{,}6^2 = 92{,}16\), \(9{,}7^2 = 94{,}09\), а \(92{,}16 < 93 < 94{,}09\), поэтому \(9{,}6 < \sqrt{93} < 9{,}7\).

Точка \(A\) отстоит от числа 9 на одну клетку, её координата равна \(9{,}2\); точка \(D\) отстоит от числа 10 на три клетки, её координата равна \(10{,}6\); точки \(C\) и \(E\) лежат правее чисел \(10{,}2\) и 11. Точка \(B\) отстоит от отметки \(9{,}6\) меньше чем на половину клетки, то есть её координата заключена между \(9{,}6\) и \(9{,}7\); ни одна другая отмеченная точка в этот промежуток не попадает.

Ответ: точка \(B\).

\[\frac{(c^3)^9 \cdot c^{15}}{c^{40}} = \frac{c^{27} \cdot c^{15}}{c^{40}} = \frac{c^{42}}{c^{40}} = c^2.\]

При \(c = 7\) получаем \(c^2 = 7^2 = 49\).

Ответ: 49.

Произведение корней равно корню из произведения:

\[\begin{aligned} &\sqrt{17 \cdot 18} \cdot \sqrt{34} = \sqrt{17 \cdot 18 \cdot 34} = {} \\ &= \sqrt{17 \cdot 18 \cdot 2 \cdot 17} = \sqrt{17^2 \cdot 36} = 17 \cdot 6 = 102. \end{aligned}\]

Ответ: 102.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

\[-x + 12 = 0, \qquad x = 12;\] \[-3x + 5 = 0, \qquad 3x = 5, \qquad x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}.\]

Ответ: \(1\frac{2}{3}\); 12.

Функция линейная, её график — прямая, а прямая определяется двумя своими точками.

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 4 \\ \hline y & 2 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Ответ: график — прямая, проходящая через точки \((0;\ 2)\) и \((4;\ 0)\).

Каждое неравенство решается отдельно:

\[x + 2{,}7 \leqslant 0, \qquad x \leqslant -2{,}7;\] \[x + 6 > 2, \qquad x > -4.\]

Оба неравенства выполняются одновременно при \(-4 < x \leqslant -2{,}7\).

Ответ: \((-4;\ -2{,}7]\).

Дано:
\(a_1 = 15\)
\(d = 2\)
\(n = 9\)

Найти: \(a_9\) — число мест в девятом ряду.

Решение: Числа мест в рядах образуют арифметическую прогрессию: каждое следующее получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа \(d = 2\).

\[a_n = a_1 + (n - 1)d;\] \[a_9 = 15 + (9 - 1) \cdot 2 = 15 + 16 = 31 \text{ (мест)}.\]

Ответ: 31 место.

Общий знаменатель дробей в скобках равен 60, а множитель \(1{,}2\) записан обыкновенной дробью \(\frac{6}{5}\).

\[\begin{aligned} &\left(\frac{5}{12} - \frac{11}{20}\right) \cdot 1{,}2 = \left(\frac{25}{60} - \frac{33}{60}\right) \cdot \frac{6}{5} = {} \\ &= -\frac{8}{60} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{2}{15} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{4}{25} = -0{,}16. \end{aligned}\]

Ответ: \(-0{,}16\).

Обе части неравенства \(a > b\) умножены на одно и то же отрицательное число \(-\frac{1}{3}\); по свойству числовых неравенств знак неравенства при этом меняется на противоположный:

\[-\frac{a}{3} < -\frac{b}{3}.\]

Ответ: \(-\frac{a}{3} < -\frac{b}{3}\).

\[\frac{a^{17}(b^3)^7}{(ab)^{13}} = \frac{a^{17} b^{21}}{a^{13} b^{13}} = a^4 b^8.\]

При \(a = 3\) и \(b = \sqrt{3}\) имеем \((\sqrt{3})^8 = \left((\sqrt{3})^2\right)^4 = 3^4 = 81\), поэтому

\[a^4 b^8 = 3^4 \cdot 81 = 81 \cdot 81 = 6561.\]

Ответ: 6561.

Множители переставлены так, чтобы получилось произведение суммы на разность:

\[(\sqrt{7} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{7}) = (\sqrt{11} + \sqrt{7})(\sqrt{11} - \sqrt{7}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2 = 11 - 7 = 4.\]

Ответ: 4.

Из второго уравнения выражается \(y\):

\[2y = 5x - 7, \qquad y = \frac{5x - 7}{2}.\]

Подстановка в первое уравнение даёт

\[x \cdot \frac{5x - 7}{2} = 12, \qquad 5x^2 - 7x = 24, \qquad 5x^2 - 7x - 24 = 0.\] \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 49 + 480 = 529, \qquad \sqrt{D} = 23;\] \[x_1 = \frac{7 + 23}{10} = 3, \qquad x_2 = \frac{7 - 23}{10} = -1{,}6.\]

Соответствующие значения \(y\):

\[y_1 = \frac{5 \cdot 3 - 7}{2} = \frac{8}{2} = 4, \qquad y_2 = \frac{5 \cdot (-1{,}6) - 7}{2} = \frac{-15}{2} = -7{,}5.\]

Ответ: \((3;\ 4)\), \((-1{,}6;\ -7{,}5)\).

При \(x \leqslant -1\) график — часть левой ветви гиперболы \(y = \frac{1}{x}\):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & -1 \\ \hline y & -0{,}25 & -0{,}5 & -1 \\ \hline \end{array}\]

При \(x > -1\) график — часть прямой \(y = 3x + 2\):

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -\frac{2}{3} & 0 \\ \hline y & 0 & 2 \\ \hline \end{array}\]

При \(x = -1\) значение даёт первая формула: \(y = \frac{1}{-1} = -1\). Выражение \(3x + 2\) при \(x = -1\) равно тому же числу: \(3 \cdot (-1) + 2 = -1\), поэтому куски графика сходятся в точке \((-1;\ -1)\) и разрыва у графика нет.

1) На промежутке \(x \leqslant -1\) функция задана формулой \(y = \frac{1}{x}\) с положительным числителем; такая функция убывает на каждом из промежутков, где \(x\) сохраняет знак, значит, убывает и при \(x \leqslant -1\). На промежутке \(x \geqslant -1\) функция задана формулой \(y = 3x + 2\) с угловым коэффициентом \(3 > 0\) — она возрастает.

2) При \(x \leqslant -1\) дробь \(\frac{1}{x}\) отрицательна, так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен. При \(x > -1\) решается неравенство \(3x + 2 < 0\), то есть \(x < -\frac{2}{3}\); вместе с условием \(x > -1\) это даёт \(-1 < x < -\frac{2}{3}\). Объединение промежутков \(x \leqslant -1\) и \(-1 < x < -\frac{2}{3}\) — это \(x < -\frac{2}{3}\).

3) При \(x \leqslant -1\) убывающая функция \(y = \frac{1}{x}\) принимает наименьшее значение на правом конце промежутка: \(y(-1) = -1\); левее значения дроби заключены между \(-1\) и 0. При \(x > -1\) возрастающая функция \(y = 3x + 2\) принимает значения, большие \(-1\). Значит, наименьшее значение всей функции равно \(-1\) и достигается при \(x = -1\).

Ответ: график состоит из ветви гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) при \(x \leqslant -1\) и луча \(y = 3x + 2\) при \(x \geqslant -1\), сходящихся в точке \((-1;\ -1)\); 1) функция возрастает при \(x \geqslant -1\) и убывает при \(x \leqslant -1\); 2) отрицательные значения функция принимает при \(x < -\frac{2}{3}\); 3) наименьшее значение функции равно \(-1\).

Нули квадратного трёхчлена:

\[x^2 - 2x - 8 = 0, \qquad D = 4 + 32 = 36, \qquad \sqrt{D} = 6;\] \[x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.\]

Старший коэффициент положителен, поэтому ветви параболы \(y = x^2 - 2x - 8\) направлены вверх, и значения трёхчлена неположительны на отрезке между корнями.

Ответ: \([-2;\ 4]\).

Сумма первых семи членов:

\[S_7 = \frac{a_1 + a_7}{2} \cdot 7, \qquad \frac{a_1 + 10}{2} \cdot 7 = 17{,}5;\] \[\frac{a_1 + 10}{2} = 2{,}5, \qquad a_1 + 10 = 5, \qquad a_1 = -5.\]

Разность находится из формулы \(n\)-го члена \(a_7 = a_1 + 6d\):

\[10 = -5 + 6d, \qquad 6d = 15, \qquad d = 2{,}5.\]

Ответ: \(a_1 = -5\), \(d = 2{,}5\).

Основания разложены на простые множители: \(18^5 = (2 \cdot 3^2)^5 = 2^5 \cdot 3^{10}\), \(24 = 2^3 \cdot 3\).

\[\frac{3^{11} \cdot 2}{18^5 \cdot 24} = \frac{2 \cdot 3^{11}}{2^5 \cdot 3^{10} \cdot 2^3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3^{11}}{2^8 \cdot 3^{11}} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}.\]

Ответ: \(\frac{1}{128}\).

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых:

\[b - b^2 - 3 + (0{,}5b - 1) = -b^2 + 1{,}5b - 4.\]

В полученном трёхчлене выделяется полный квадрат:

\[\begin{aligned} &-b^2 + 1{,}5b - 4 = -\left(b^2 - 1{,}5b + 4\right) = {} \\ &= -\left(b^2 - 2 \cdot b \cdot 0{,}75 + 0{,}5625 + 3{,}4375\right) = {} \\ &= -(b - 0{,}75)^2 - 3{,}4375. \end{aligned}\]

Квадрат любого числа неотрицателен: \((b - 0{,}75)^2 \geqslant 0\), поэтому \(-(b - 0{,}75)^2 \leqslant 0\) и

\[-(b - 0{,}75)^2 - 3{,}4375 \leqslant -3{,}4375 < 0.\]

Значит, при любом значении \(b\) данное выражение отрицательно.

Ответ: при любом \(b\) выражение равно \(-(b - 0{,}75)^2 - 3{,}4375\) и не превосходит \(-3{,}4375\), поэтому оно отрицательно.

Порядок числа — это показатель степени десятки в его стандартном виде. Значит, \(a = a_0 \cdot 10^{-8}\), где \(1 \leqslant a_0 < 10\). Тогда

\[a \cdot 10^{13} = a_0 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{13} = a_0 \cdot 10^{5}.\]

Множитель \(a_0\) по-прежнему удовлетворяет условию \(1 \leqslant a_0 < 10\), поэтому запись \(a_0 \cdot 10^5\) — стандартный вид числа \(a \cdot 10^{13}\), а его порядок равен 5.

Ответ: 5.

Квадратный корень из квадрата числа равен модулю самого этого числа: \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Сравним \(3\sqrt{2}\) и 6: \(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\), \(6 = \sqrt{36}\), и \(\sqrt{18} < \sqrt{36}\), значит, \(3\sqrt{2} - 6 < 0\), а модуль отрицательного числа равен противоположному числу: \(\left|3\sqrt{2} - 6\right| = 6 - 3\sqrt{2}\).

\[\sqrt{\left(3\sqrt{2} - 6\right)^2} + 3\sqrt{2} = 6 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6.\]

Ответ: 6.

Область допустимых значений: \(x \ne 0\) и \(x \ne -3\).

Из основного свойства пропорции:

\[9x = a(3 + x), \qquad 9x - ax = 3a, \qquad x(9 - a) = 3a.\]

Если \(9 - a = 0\), то есть \(a = 9\), уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 27\) и корней не имеет.

Если \(a \ne 9\), то \(x = \frac{3a}{9 - a}\). Этот корень должен входить в область допустимых значений. Равенство \(\frac{3a}{9 - a} = 0\) выполняется только при \(a = 0\): при \(a = 0\) получается \(x = 0\), что недопустимо, и корней нет. Равенство \(\frac{3a}{9 - a} = -3\) приводит к \(3a = -27 + 3a\), то есть \(0 = -27\), — оно невозможно, поэтому значение \(x = -3\) не получается ни при каком \(a\).

Ответ: при \(a = 0\) и при \(a = 9\) корней нет; при остальных значениях \(a\) единственный корень \(x = \frac{3a}{9 - a}\).

Так как \(x^2 = |x|^2\), выражение сворачивается в полный квадрат:

\[y = |x|^2 - 6|x| + 9 = (|x| - 3)^2.\]

При замене \(x\) на \(-x\) значение не меняется, поэтому график симметричен относительно оси \(y\). При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = (x - 3)^2\) — правая половина графика есть парабола с вершиной \((3;\ 0)\).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 3 & 5 \\ \hline y & 9 & 4 & 0 & 4 \\ \hline \end{array}\]

Ответ: график — две ветви парабол, касающиеся оси \(x\) в точках \((-3;\ 0)\) и \((3;\ 0)\) и сходящиеся с изломом в точке \((0;\ 9)\).

Выражения под знаками модуля обращаются в нуль при \(x = -1\) и \(x = 2\); эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка.

1) \(x < -1\). Тогда \(|x + 1| = -x - 1\), \(|x - 2| = 2 - x\), и неравенство принимает вид

\[-x - 1 + 2 - x > 4, \qquad 1 - 2x > 4, \qquad -2x > 3, \qquad x < -1{,}5.\]

Оба условия — \(x < -1\) и \(x < -1{,}5\) — выполняются при \(x < -1{,}5\).

2) \(-1 \leqslant x \leqslant 2\). Тогда \(|x + 1| = x + 1\), \(|x - 2| = 2 - x\), и левая часть равна \(x + 1 + 2 - x = 3\). Неравенство \(3 > 4\) неверно, решений на этом промежутке нет.

3) \(x > 2\). Тогда \(|x + 1| = x + 1\), \(|x - 2| = x - 2\), и неравенство принимает вид

\[x + 1 + x - 2 > 4, \qquad 2x - 1 > 4, \qquad x > 2{,}5.\]

Оба условия — \(x > 2\) и \(x > 2{,}5\) — выполняются при \(x > 2{,}5\).

Ответ: \((-\infty;\ -1{,}5) \cup (2{,}5;\ +\infty)\).

Дано:
\(b_1 + b_4 = 72\)
\(b_2 + b_3 = 48\)
прогрессия убывающая

Найти: \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), \(b_4\).

Решение: По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_1 q^2\), \(b_4 = b_1 q^3\), причём \(b_1 \ne 0\) и \(q \ne 0\). Условия задачи дают систему

\[\begin{cases} b_1\left(1 + q^3\right) = 72, \\ b_1 q(1 + q) = 48. \end{cases}\]

Значение \(q = -1\) невозможно: при нём \(b_1 q(1 + q) = 0\), а не 48. Значит, \(1 + q \ne 0\), и левые части обеих строк отличны от нуля — уравнения можно почленно разделить. Учитывая, что \(1 + q^3 = (1 + q)\left(1 - q + q^2\right)\), получаем

\[\frac{b_1(1 + q)\left(1 - q + q^2\right)}{b_1 q (1 + q)} = \frac{72}{48}, \qquad \frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{3}{2};\] \[2\left(1 - q + q^2\right) = 3q, \qquad 2q^2 - 5q + 2 = 0;\] \[D = 25 - 16 = 9, \qquad q_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \qquad q_2 = \frac{5 - 3}{4} = 0{,}5.\]

При \(q = 2\) из первого уравнения \(b_1 \cdot 9 = 72\), откуда \(b_1 = 8\), и получается прогрессия 8; 16; 32; 64 — возрастающая, условию она не отвечает.

При \(q = 0{,}5\) из первого уравнения \(b_1 \cdot 1{,}125 = 72\), откуда \(b_1 = 64\), и получается прогрессия 64; 32; 16; 8 — убывающая.

Проверка: \(64 + 8 = 72\) — сумма крайних членов; \(32 + 16 = 48\) — сумма средних членов.

Ответ: 64; 32; 16; 8.