Страница 152 номер 6.3.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В геометрической прогрессии найти первый её член и знаменатель, если \(b_3 = 150\), \(S_3 = 186\).
По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\) и \(b_3 = b_1q^2\), поэтому \(S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2\). Последнее слагаемое — это \(b_3 = 150\), значит, \(b_1 + b_1q = S_3 - b_3 = 186 - 150 = 36\), и получаем систему \[\begin{cases} b_1q^2 = 150, \\ b_1(1 + q) = 36 \end{cases}\]
Знаменатель прогрессии отличен от нуля, поэтому из первого уравнения \(b_1 = \frac{150}{q^2}\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[\frac{150(1 + q)}{q^2} = 36,\qquad 150 + 150q = 36q^2,\qquad 36q^2 - 150q - 150 = 0.\]
Разделим обе части на 6: \(6q^2 - 25q - 25 = 0\). Дискриминант \(D = (-25)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-25) = 625 + 600 = 1225\), \(\sqrt{D} = 35\), поэтому \[q_1 = \frac{25 + 35}{12} = 5,\qquad q_2 = \frac{25 - 35}{12} = -\frac{5}{6}.\]
Оба корня отличны от нуля, значит, условию отвечают две прогрессии.
Если \(q = 5\), то \(b_1 = \frac{150}{5^2} = \frac{150}{25} = 6\); прогрессия \(6\); \(30\); \(150\); … , и \(6 + 30 + 150 = 186\).
Если \(q = -\frac{5}{6}\), то \(b_1 = 150 : \frac{25}{36} = 150 \cdot \frac{36}{25} = 216\); прогрессия \(216\); \(-180\); \(150\); … , и \(216 - 180 + 150 = 186\).
Ответ: \(b_1 = 6\), \(q = 5\) или \(b_1 = 216\), \(q = -\frac{5}{6}\).
В геометрической прогрессии найти первый её член и знаменатель, если \(b_3 = 150\), \(S_3 = 186\).
По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\) и \(b_3 = b_1q^2\), поэтому сумма первых трёх членов равна \[S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2.\]
Последнее слагаемое — это \(b_3 = 150\), значит, \(b_1 + b_1q = S_3 - b_3 = 186 - 150 = 36\). Получаем систему \[\begin{cases} b_1q^2 = 150, \\ b_1(1 + q) = 36 \end{cases}\]
Знаменатель прогрессии отличен от нуля, поэтому из первого уравнения \(b_1 = \frac{150}{q^2}\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[\frac{150(1 + q)}{q^2} = 36,\qquad 150 + 150q = 36q^2,\qquad 36q^2 - 150q - 150 = 0.\]
Разделим обе части на 6: \[6q^2 - 25q - 25 = 0.\]
Дискриминант \(D = (-25)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-25) = 625 + 600 = 1225\), \(\sqrt{D} = 35\), поэтому \[q_1 = \frac{25 + 35}{12} = 5,\qquad q_2 = \frac{25 - 35}{12} = -\frac{5}{6}.\]
Оба корня отличны от нуля, значит, условию отвечают две прогрессии.
Если \(q = 5\), то \(b_1 = \frac{150}{5^2} = \frac{150}{25} = 6\); прогрессия \(6\); \(30\); \(150\); … , и \(6 + 30 + 150 = 186\).
Если \(q = -\frac{5}{6}\), то \(b_1 = 150 : \frac{25}{36} = 150 \cdot \frac{36}{25} = 216\); прогрессия \(216\); \(-180\); \(150\); … , и \(216 - 180 + 150 = 186\).
Ответ: \(b_1 = 6\), \(q = 5\) или \(b_1 = 216\), \(q = -\frac{5}{6}\).
