Страница 152 номер 6.3.32, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Знаменатель находим из формулы суммы \[S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1},\] верной при \(q \ne 1\), а номер \(n\) — из формулы \(n\)-го члена \(b_n = b_1q^{n-1}\). Число членов \(n\) — натуральное, и это часть ответа.
1) Уравнение \(\frac{320q - 5}{q - 1} = 425\). Умножим обе части на \(q - 1\) (при \(q \ne 1\) это число отлично от нуля): \[\begin{aligned} 425(q - 1) &= 320q - 5, \\ 425q - 425 &= 320q - 5, \\ 105q &= 420, \\ q &= 4. \end{aligned}\] Номер последнего члена: \(5 \cdot 4^{n-1} = 320\), откуда \(4^{n-1} = 64 = 4^3\), значит, \(n - 1 = 3\) и \(n = 4\).
2) Уравнение \(\frac{567q - 7}{q - 1} = 847\): \[\begin{aligned} 847(q - 1) &= 567q - 7, \\ 847q - 847 &= 567q - 7, \\ 280q &= 840, \\ q &= 3. \end{aligned}\] Номер последнего члена: \(7 \cdot 3^{n-1} = 567\), откуда \(3^{n-1} = 81 = 3^4\), значит, \(n - 1 = 4\) и \(n = 5\).
3) Уравнение \(\frac{-486q + 6}{q - 1} = -366\): \[\begin{aligned} -366(q - 1) &= -486q + 6, \\ -366q + 366 &= -486q + 6, \\ 120q &= -360, \\ q &= -3. \end{aligned}\] Номер последнего члена: \(-6 \cdot (-3)^{n-1} = -486\), откуда \((-3)^{n-1} = 81\). Значение положительно, а степень отрицательного числа положительна только при чётном показателе, поэтому показатель \(n - 1\) чётный. При чётном показателе \((-3)^{n-1} = 3^{n-1}\), и из равенства \(3^{n-1} = 81 = 3^4\) получаем \(n - 1 = 4\) (число чётное, как и требовалось) и \(n = 5\).
4) Уравнение \(\frac{320q + 10}{q - 1} = 210\): \[\begin{aligned} 210(q - 1) &= 320q + 10, \\ 210q - 210 &= 320q + 10, \\ -110q &= 220, \\ q &= -2. \end{aligned}\] Номер последнего члена: \(-10 \cdot (-2)^{n-1} = 320\), откуда \((-2)^{n-1} = -32\). Значение отрицательно, а степень отрицательного числа отрицательна только при нечётном показателе, поэтому показатель \(n - 1\) нечётный. При нечётном показателе \((-2)^{n-1} = -2^{n-1}\), и равенство \((-2)^{n-1} = -32\) принимает вид \(2^{n-1} = 32 = 2^5\), откуда \(n - 1 = 5\) (число нечётное, как и требовалось) и \(n = 6\).
Ответ: 1) \(q = 4\), \(n = 4\); 2) \(q = 3\), \(n = 5\); 3) \(q = -3\), \(n = 5\); 4) \(q = -2\), \(n = 6\).
Известны первый член, последний член и сумма, поэтому знаменатель находим из формулы суммы \[S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1},\] верной при \(q \ne 1\), а номер \(n\) — из формулы \(n\)-го члена \(b_n = b_1q^{n-1}\). Число членов \(n\) — натуральное, и это часть ответа.
1) Уравнение \(\frac{320q - 5}{q - 1} = 425\). Умножим обе части на \(q - 1\) (при \(q \ne 1\) это число отлично от нуля): \[\begin{aligned} 425(q - 1) &= 320q - 5, \\ 425q - 425 &= 320q - 5, \\ 105q &= 420, \\ q &= 4. \end{aligned}\]
Номер последнего члена: \(5 \cdot 4^{n-1} = 320\), откуда \(4^{n-1} = 64 = 4^3\), значит, \(n - 1 = 3\) и \(n = 4\).
2) Уравнение \(\frac{567q - 7}{q - 1} = 847\): \[\begin{aligned} 847(q - 1) &= 567q - 7, \\ 847q - 847 &= 567q - 7, \\ 280q &= 840, \\ q &= 3. \end{aligned}\]
Номер последнего члена: \(7 \cdot 3^{n-1} = 567\), откуда \(3^{n-1} = 81 = 3^4\), значит, \(n - 1 = 4\) и \(n = 5\).
3) Уравнение \(\frac{-486q + 6}{q - 1} = -366\): \[\begin{aligned} -366(q - 1) &= -486q + 6, \\ -366q + 366 &= -486q + 6, \\ 120q &= -360, \\ q &= -3. \end{aligned}\]
Номер последнего члена: \(-6 \cdot (-3)^{n-1} = -486\), откуда \((-3)^{n-1} = 81\). Значение положительно, а степень отрицательного числа положительна только при чётном показателе (при нечётном она отрицательна), поэтому показатель \(n - 1\) чётный. При чётном показателе \((-3)^{n-1} = 3^{n-1}\), и из равенства \(3^{n-1} = 81 = 3^4\) получаем \(n - 1 = 4\) (число чётное, как и требовалось) и \(n = 5\).
4) Уравнение \(\frac{320q + 10}{q - 1} = 210\): \[\begin{aligned} 210(q - 1) &= 320q + 10, \\ 210q - 210 &= 320q + 10, \\ -110q &= 220, \\ q &= -2. \end{aligned}\]
Номер последнего члена: \(-10 \cdot (-2)^{n-1} = 320\), откуда \((-2)^{n-1} = -32\). Значение отрицательно, а степень отрицательного числа отрицательна только при нечётном показателе (при чётном она положительна), поэтому показатель \(n - 1\) нечётный. При нечётном показателе \((-2)^{n-1} = -2^{n-1}\), и равенство \((-2)^{n-1} = -32\) принимает вид \(2^{n-1} = 32 = 2^5\), откуда \(n - 1 = 5\) (число нечётное, как и требовалось) и \(n = 6\).
Ответ: 1) \(q = 4\), \(n = 4\); 2) \(q = 3\), \(n = 5\); 3) \(q = -3\), \(n = 5\); 4) \(q = -2\), \(n = 6\).
