Страница 154 номер 6.3.47, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Все члены прогрессии целые, в частности, целым является \(b_1\); наоборот, при целых \(b_1\) и \(q\) все члены \(b_n = b_1q^{n-1}\) целые. Значит, надо найти целые \(b_1\) и \(q\), удовлетворяющие всем трём неравенствам.
Выразим нужные члены: \(b_3 = b_1q^2\), \(b_5 = b_1q^4\), \(b_6 = b_1q^5\).
Из неравенства \(b_3 > 16\) следует \(b_1q^2 > 16 > 0\); так как \(q^2 > 0\), то \(b_1 > 0\), а тогда и \(b_5 = b_1q^4 > 0\).
Так как \(b_6 = b_5q\), неравенство \(b_6 < b_5\) даёт \(b_5q - b_5 < 0\), то есть \(b_5(q - 1) < 0\). Множитель \(b_5\) положителен, значит, \(q - 1 < 0\) и \(q < 1\).
Далее, \(b_5 = b_3q^2\), а \(b_3 > 16\), поэтому \(b_5 > 16q^2\). Вместе с \(b_5 < 160\) это даёт \(16q^2 < 160\), то есть \(q^2 < 10\).
Знаменатель целый, отличен от нуля, меньше 1, и его квадрат меньше 10. Таким условиям отвечают только три числа: \(q = -1\), \(q = -2\), \(q = -3\).
При \(q = -3\) имеем \(b_3 = 9b_1 > 16\), откуда \(b_1 \geqslant 2\), и \(b_5 = 81b_1 < 160\), откуда \(b_1 \leqslant 1\). Целого \(b_1\), удовлетворяющего обоим неравенствам, нет.
При \(q = -2\) имеем \(b_3 = 4b_1 > 16\), откуда \(b_1 > 4\), то есть \(b_1 \geqslant 5\); и \(b_5 = 16b_1 < 160\), откуда \(b_1 < 10\), то есть \(b_1 \leqslant 9\). Подходят пять значений: \(b_1 = 5\), 6, 7, 8, 9.
При \(q = -1\) имеем \(b_3 = b_1 > 16\), откуда \(b_1 \geqslant 17\); и \(b_5 = b_1 < 160\), откуда \(b_1 \leqslant 159\). Третье неравенство выполнено при любом таком \(b_1\), так как \(b_6 = -b_1\), \(b_5 = b_1\) и \(-b_1 < b_1\). Подходят все целые числа от 17 до 159, их \(159 - 17 + 1 = 143\).
Всего прогрессий, удовлетворяющих условию, \(5 + 143 = 148\).
Ответ: 1) \(q = -1\) или \(q = -2\); 2) 148 прогрессий.
Все члены прогрессии целые, в частности, целым является \(b_1\); наоборот, при целых \(b_1\) и \(q\) все члены \(b_n = b_1q^{n-1}\) целые. Значит, надо найти целые \(b_1\) и \(q\), при которых выполняются все три неравенства.
Выразим нужные члены через первый член и знаменатель: \(b_3 = b_1q^2\), \(b_5 = b_1q^4\), \(b_6 = b_1q^5\).
Из неравенства \(b_3 > 16\) следует \(b_1q^2 > 16 > 0\); так как \(q^2 > 0\), то \(b_1 > 0\), а тогда и \(b_5 = b_1q^4 > 0\).
Так как \(b_6 = b_5q\), неравенство \(b_6 < b_5\) даёт \(b_5q - b_5 < 0\), то есть \(b_5(q - 1) < 0\). Множитель \(b_5\) положителен, значит, \(q - 1 < 0\) и \(q < 1\).
Далее, \(b_5 = b_3q^2\), а \(b_3 > 16\), поэтому \(b_5 > 16q^2\). Вместе с \(b_5 < 160\) это даёт \(16q^2 < 160\), то есть \(q^2 < 10\).
Знаменатель целый, отличен от нуля, меньше 1, и его квадрат меньше 10. Таким условиям отвечают только три числа: \(q = -1\), \(q = -2\), \(q = -3\). Разберём каждое.
При \(q = -3\) имеем \(b_3 = 9b_1 > 16\), откуда \(b_1 \geqslant 2\), и \(b_5 = 81b_1 < 160\), откуда \(b_1 \leqslant 1\). Целого \(b_1\), удовлетворяющего обоим неравенствам, нет.
При \(q = -2\) имеем \(b_3 = 4b_1 > 16\), откуда \(b_1 > 4\), то есть \(b_1 \geqslant 5\); и \(b_5 = 16b_1 < 160\), откуда \(b_1 < 10\), то есть \(b_1 \leqslant 9\). Подходят пять значений: \(b_1 = 5\), 6, 7, 8, 9.
При \(q = -1\) имеем \(b_3 = b_1 > 16\), откуда \(b_1 \geqslant 17\); и \(b_5 = b_1 < 160\), откуда \(b_1 \leqslant 159\). Третье неравенство выполнено при любом таком \(b_1\), так как \(b_6 = -b_1\), \(b_5 = b_1\) и \(-b_1 < b_1\). Подходят все целые числа от 17 до 159, их \(159 - 17 + 1 = 143\).
Всего прогрессий, удовлетворяющих условию, \(5 + 143 = 148\).
Ответ: 1) \(q = -1\) или \(q = -2\); 2) 148 прогрессий.
