Итоговая работа. вариант 2 на страницах 172-173, ГДЗ по алгебре за 7 класс к сборнику задач и упражнений Ткачевой

Общий знаменатель дробей в скобках равен 100, делитель записан неправильной дробью \(1\frac{1}{40} = \frac{41}{40}\), а деление заменено умножением на обратную дробь.

\[\begin{aligned} &\left(\frac{11}{20} - \frac{7}{50}\right) : 1\frac{1}{40} = \left(\frac{55}{100} - \frac{14}{100}\right) : \frac{41}{40} = {} \\ &= \frac{41}{100} \cdot \frac{40}{41} = \frac{2}{5} = 0{,}4. \end{aligned}\]

Ответ: \(0{,}4\).

Из неравенства \(a > b\) следует \(b - a < 0\): разность двух чисел отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого.

Обе части неравенства \(b - a < 0\) умножены на отрицательное число \(-10\); по свойству числовых неравенств знак при этом меняется на противоположный:

\[-10(b - a) > 0.\]

Ответ: \(-10(b - a) > 0\).

Числитель и знаменатель приведены к общему основанию 3:

\[\frac{9^6}{27^4} = \frac{\left(3^2\right)^6}{\left(3^3\right)^4} = \frac{3^{12}}{3^{12}} = 1.\]

Ответ: 1.

\[8\sqrt{6} \cdot \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{42} = 16\sqrt{6 \cdot 7 \cdot 42} = 16\sqrt{42 \cdot 42} = 16 \cdot 42 = 672.\]

Ответ: 672.

Все слагаемые перенесены в левую часть:

\[x^2 + 3x - 10 = 0;\] \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49, \qquad \sqrt{D} = 7;\] \[x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5, \qquad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2.\]

Ответ: \(-5\); 2.

График квадратичной функции — парабола; старший коэффициент \(a = 1 > 0\), значит, её ветви направлены вверх.

Абсцисса вершины и её ордината:

\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1, \qquad y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.\]

Вершина параболы — точка \((-1;\ -4)\), ось симметрии — прямая \(x = -1\).

Нули функции:

\[x^2 + 2x - 3 = 0, \qquad D = 4 + 12 = 16, \qquad x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3, \qquad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Ответ: график — парабола с ветвями вверх и вершиной \((-1;\ -4)\), пересекающая ось \(x\) в точках \((-3;\ 0)\) и \((1;\ 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0;\ -3)\).

Каждое неравенство решается отдельно:

\[4x - 5 < 0, \qquad 4x < 5, \qquad x < 1{,}25;\] \[9 - 2x < 3, \qquad -2x < -6, \qquad x > 3.\]

Ни одно число не может быть одновременно меньше \(1{,}25\) и больше 3, поэтому общих решений у неравенств нет.

Ответ: решений нет.

По формуле \(n\)-го члена \(a_{11} = a_1 + 10d\):

\[10 = 10 + 10d, \qquad 10d = 0, \qquad d = 0.\]

Все члены такой прогрессии равны 10.

Ответ: \(d = 0\).

Смешанные числа записаны десятичными дробями: \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\), \(2\frac{1}{4} = 2{,}25\). Частное двух отрицательных чисел положительно.

\[\begin{aligned} &\left(1\frac{1}{5} - 2\frac{1}{4}\right) : (-0{,}63) = (1{,}2 - 2{,}25) : (-0{,}63) = {} \\ &= (-1{,}05) : (-0{,}63) = \frac{105}{63} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}. \end{aligned}\]

Ответ: \(1\frac{2}{3}\).

Обе части неравенства \(a > b\) умножены на положительное число 2, знак сохраняется: \(2a > 2b\).

Обе части неравенства \(c < d\) умножены на отрицательное число \(-1\), знак меняется: \(-c > -d\).

Неравенства \(2a > 2b\) и \(-c > -d\) одного знака, их можно почленно сложить:

\[2a - c > 2b - d.\]

Ответ: \(2a - c > 2b - d\).

\[\left(2^4 \cdot 3\right)^{-8} = 2^{-32} \cdot 3^{-8};\] \[\frac{2^{-32} \cdot 3^{-8}}{2^{-26} \cdot 3^{-10}} = 2^{-32 + 26} \cdot 3^{-8 + 10} = 2^{-6} \cdot 3^2 = \frac{9}{64}.\]

Ответ: \(\frac{9}{64}\).

Подкоренные множители разложены так, чтобы получились полные квадраты: \(75 = 25 \cdot 3\), \(24 = 3 \cdot 8\).

\[\sqrt{75 \cdot 24 \cdot 8} = \sqrt{25 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 8} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 64} = 5 \cdot 3 \cdot 8 = 120.\]

Ответ: 120.

Уравнение биквадратное; введена новая переменная \(t = x^2\), причём \(t \geqslant 0\):

\[5t^2 - 12t + 7 = 0, \qquad D = 144 - 140 = 4, \qquad \sqrt{D} = 2;\] \[t_1 = \frac{12 + 2}{10} = 1{,}4, \qquad t_2 = \frac{12 - 2}{10} = 1.\]

Оба значения неотрицательны, поэтому оба дают корни исходного уравнения:

\[x^2 = 1{,}4, \qquad x = \pm\sqrt{1{,}4}; \qquad x^2 = 1, \qquad x = \pm 1.\]

Ответ: \(\pm 1\); \(\pm\sqrt{1{,}4}\).

Функция задана при \(x < 1\) и при \(1 \leqslant x \leqslant 4\), поэтому её область определения — промежуток \((-\infty;\ 4]\).

При \(x < 1\) график — часть параболы \(y = -x^2 + 2\) с вершиной \((0;\ 2)\) и ветвями вниз; её нули находятся из уравнения \(-x^2 + 2 = 0\), то есть \(x = \pm\sqrt{2}\), и в рассматриваемый промежуток попадает только \(x = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -2 & 1 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\]

При \(1 \leqslant x \leqslant 4\) график — часть кривой \(y = \sqrt{x}\).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2{,}25 & 4 \\ \hline y & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline \end{array}\]

Значение при \(x = 1\) даёт первая формула: \(y = \sqrt{1} = 1\); выражение \(-x^2 + 2\) при \(x = 1\) равно тому же числу, поэтому куски графика сходятся в точке \((1;\ 1)\). Правее \(x = 4\) графика нет, крайняя точка \((4;\ 2)\) графику принадлежит.

1) На промежутке \(x < 1\) функция задана формулой \(y = -x^2 + 2\): ветви параболы направлены вниз, поэтому слева от вершины, при \(x \leqslant 0\), функция возрастает, а справа от вершины, при \(0 \leqslant x < 1\), убывает. На промежутке \(1 \leqslant x \leqslant 4\) функция задана формулой \(y = \sqrt{x}\) и возрастает.

2) На первом промежутке наибольшее значение функция принимает в вершине параболы: \(y(0) = 2\). На втором промежутке возрастающая функция \(y = \sqrt{x}\) принимает наибольшее значение на правом конце: \(y(4) = \sqrt{4} = 2\). Значит, наибольшее значение функции равно 2 и достигается при \(x = 0\) и при \(x = 4\).

3) При \(x < 1\) неравенство \(-x^2 + 2 > 0\) равносильно \(x^2 < 2\), то есть \(-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\); вместе с условием \(x < 1\) это даёт \(-\sqrt{2} < x < 1\). При \(1 \leqslant x \leqslant 4\) значения \(\sqrt{x}\) положительны. Объединение промежутков — \(-\sqrt{2} < x \leqslant 4\).

Ответ: график состоит из дуги параболы \(y = -x^2 + 2\) при \(x < 1\) и дуги кривой \(y = \sqrt{x}\) при \(1 \leqslant x \leqslant 4\), сходящихся в точке \((1;\ 1)\) и обрывающихся в точке \((4;\ 2)\); 1) функция возрастает при \(x \leqslant 0\) и при \(1 \leqslant x \leqslant 4\), убывает при \(0 \leqslant x \leqslant 1\); 2) наибольшее значение функции равно 2 и достигается при \(x = 0\) и при \(x = 4\); 3) положительные значения функция принимает при \(-\sqrt{2} < x \leqslant 4\).

Обе части умножены на \(-1\), знак неравенства при этом меняется:

\[x^2 - 5x > 0, \qquad x(x - 5) > 0.\]

Нули трёхчлена: \(x = 0\) и \(x = 5\). Ветви параболы \(y = x^2 - 5x\) направлены вверх, поэтому её значения положительны вне отрезка между корнями.

Ответ: \((-\infty;\ 0) \cup (5;\ +\infty)\).

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы; здесь \(|q| = \frac{1}{2} < 1\), поэтому сумма всех членов существует и находится по формуле \(S = \frac{b_1}{1 - q}\).

\[S = \frac{-\frac{1}{16}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-\frac{1}{16}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{24}.\]

Ответ: \(-\frac{1}{24}\).

\[\left(25 \cdot 10^4\right)^2 \cdot \left(0{,}2 \cdot 10^{-6}\right) = 625 \cdot 10^8 \cdot 0{,}2 \cdot 10^{-6} = 125 \cdot 10^2 = 12\,500.\]

Ответ: \(12\,500\).

Все слагаемые перенесены в левую часть, а двойка разбита на две единицы, чтобы получились полные квадраты:

\[x^2 + y^2 + 2 - 2x - 2y \geqslant 0, \qquad \left(x^2 - 2x + 1\right) + \left(y^2 - 2y + 1\right) \geqslant 0;\] \[(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geqslant 0.\]

Последнее неравенство верно при любых \(x\) и \(y\): слева стоит сумма квадратов, а квадрат каждого числа неотрицателен. Все преобразования обратимы, значит, верно и исходное неравенство. Равенство достигается только при \(x = 1\) и \(y = 1\).

Ответ: неравенство верно при любых \(x\) и \(y\), так как равносильно неравенству \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geqslant 0\).

Выражение \(a^{-3} = \frac{1}{a^3}\) имеет смысл при \(a \ne 0\). Обе части неравенства умножаются на \(a^3\), и здесь важен знак этого множителя.

1) \(a > 0\). Тогда \(a^3 > 0\), знак неравенства сохраняется:

\[1 < a^6.\]

Для положительных \(a\) неравенство \(a^6 > 1\) выполняется при \(a > 1\): при \(0 < a \leqslant 1\) было бы \(a^6 \leqslant 1\).

2) \(a < 0\). Тогда \(a^3 < 0\), знак неравенства меняется на противоположный:

\[1 > a^6.\]

Так как \(a^6 = |a|^6\), неравенство \(|a|^6 < 1\) равносильно \(|a| < 1\), а вместе с условием \(a < 0\) это даёт \(-1 < a < 0\).

Ответ: \((-1;\ 0) \cup (1;\ +\infty)\).

Квадратный корень из квадрата числа равен модулю самого этого числа: \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Сравним \(2\sqrt{3}\) и 7: \(2\sqrt{3} = \sqrt{12}\), \(7 = \sqrt{49}\), и \(\sqrt{12} < \sqrt{49}\), значит, \(2\sqrt{3} - 7 < 0\), а модуль отрицательного числа равен противоположному числу: \(\left|2\sqrt{3} - 7\right| = 7 - 2\sqrt{3}\).

\[\sqrt{\left(2\sqrt{3} - 7\right)^2} - 2\sqrt{3} = 7 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3}.\]

Ответ: \(7 - 4\sqrt{3}\).

Из каждого уравнения выражается \(y\): \(y = x^2\) и \(y = bx\). Значения \(y\) равны, поэтому

\[x^2 = bx, \qquad x^2 - bx = 0, \qquad x(x - b) = 0.\]

Отсюда \(x = 0\) или \(x = b\).

При \(x = 0\) получаем \(y = 0^2 = 0\) — пара \((0;\ 0)\).

При \(x = b\) получаем \(y = b^2\) — пара \((b;\ b^2)\).

Если \(b = 0\), обе пары совпадают, и система имеет единственное решение \((0;\ 0)\); если \(b \ne 0\), решений два.

Ответ: при \(b = 0\) единственное решение \((0;\ 0)\); при \(b \ne 0\) два решения — \((0;\ 0)\) и \((b;\ b^2)\).

Область определения: \(x - 2 \ne 0\), то есть \(x \ne 2\).

Числитель разложен на множители по корням: \(2x^2 - 5x + 2 = 0\), \(D = 25 - 16 = 9\), корни \(x_1 = \frac{5 - 3}{4} = 0{,}5\) и \(x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2\), поэтому \(2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 0{,}5)(x - 2) = (2x - 1)(x - 2)\).

\[y = \frac{(2x - 1)(x - 2)}{x - 2} = 2x - 1 \quad \text{при } x \ne 2.\]

График — прямая \(y = 2x - 1\), из которой удалена точка с абсциссой 2; её ордината равна \(2 \cdot 2 - 1 = 3\), то есть выколота точка \((2;\ 3)\).

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & -1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Ответ: график — прямая \(y = 2x - 1\) с выколотой точкой \((2;\ 3)\).

Правая часть разложена по формуле разности квадратов: \(c^2 - 4 = (c - 2)(c + 2)\), и неравенство принимает вид

\[(c + 2)x > (c - 2)(c + 2).\]

1) \(c + 2 > 0\), то есть \(c > -2\). Обе части делятся на положительное число \(c + 2\), знак сохраняется: \(x > c - 2\).

2) \(c + 2 < 0\), то есть \(c < -2\). Обе части делятся на отрицательное число \(c + 2\), знак меняется на противоположный: \(x < c - 2\).

3) \(c + 2 = 0\), то есть \(c = -2\). Неравенство принимает вид \(0 \cdot x > 0\), то есть \(0 > 0\), — оно неверно ни при каком \(x\), решений нет.

Ответ: при \(c < -2\) решение \(x < c - 2\); при \(c = -2\) решений нет; при \(c > -2\) решение \(x > c - 2\).

По формуле \(n\)-го члена \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) каждая из сумм выражается через \(a_1\) и \(d\):

\[a_3 + a_{22} = (a_1 + 2d) + (a_1 + 21d) = 2a_1 + 23d;\] \[a_7 + a_{18} = (a_1 + 6d) + (a_1 + 17d) = 2a_1 + 23d;\] \[a_9 + a_{16} = (a_1 + 8d) + (a_1 + 15d) = 2a_1 + 23d.\]

Суммы номеров у всех трёх пар одинаковы, поэтому одинаковы и сами суммы: каждая из них равна \(-8\).

\[a_3 + a_7 + a_{18} + a_{22} = (a_3 + a_{22}) + (a_7 + a_{18}) = -8 + (-8) = -16.\]

Ответ: \(-16\).