Страница 154 номер 6.3.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Пусть \(a_1\) — первый член арифметической прогрессии, \(d\) — её разность.
Сумма десяти членов равна 87: \[S_{10} = \frac{2a_1 + d(10 - 1)}{2} \cdot 10 = 5\left(2a_1 + 9d\right) = 87,\] откуда \(2a_1 + 9d = 17{,}4\).
Числа \(a_1\), \(a_2\), \(a_6\) — последовательные члены геометрической прогрессии, поэтому квадрат среднего из них равен произведению крайних: \(a_2^2 = a_1a_6\). Так как \(a_2 = a_1 + d\) и \(a_6 = a_1 + 5d\), получаем \[\left(a_1 + d\right)^2 = a_1\left(a_1 + 5d\right),\] \[a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 5a_1d,\] \[d^2 - 3a_1d = 0, \qquad d\left(d - 3a_1\right) = 0.\]
Первый случай: \(d = 0\). Тогда \(2a_1 = 17{,}4\) и \(a_1 = 8{,}7\). Все десять чисел равны \(8{,}7\), они же образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = \frac{a_2}{a_1} = 1\).
Второй случай: \(d = 3a_1\). Тогда \(2a_1 + 27a_1 = 17{,}4\), то есть \(29a_1 = 17{,}4\), откуда \(a_1 = 0{,}6\) и \(d = 1{,}8\). Второй член \(a_2 = 0{,}6 + 1{,}8 = 2{,}4\), знаменатель \(q = \frac{2{,}4}{0{,}6} = 4\).
Проверка: во втором случае \(a_6 = 0{,}6 + 5 \cdot 1{,}8 = 9{,}6\), и \(2{,}4^2 = 5{,}76 = 0{,}6 \cdot 9{,}6\).
Ответ: 1) \(a_1 = 8{,}7\), \(d = 0\) или \(a_1 = 0{,}6\), \(d = 1{,}8\); 2) \(q = 1\) или \(q = 4\).
Обозначим первый член арифметической прогрессии \(a_1\), её разность \(d\).
Сумма десяти членов равна 87: \[S_{10} = \frac{2a_1 + d(10 - 1)}{2} \cdot 10 = 5\left(2a_1 + 9d\right) = 87,\] откуда \(2a_1 + 9d = 17{,}4\).
Числа \(a_1\), \(a_2\), \(a_6\) — последовательные члены геометрической прогрессии, поэтому квадрат среднего из них равен произведению крайних: \(a_2^2 = a_1a_6\). Так как \(a_2 = a_1 + d\) и \(a_6 = a_1 + 5d\), получаем \[\left(a_1 + d\right)^2 = a_1\left(a_1 + 5d\right),\] \[a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 5a_1d,\] \[d^2 - 3a_1d = 0, \qquad d\left(d - 3a_1\right) = 0.\]
Первый случай: \(d = 0\). Тогда \(2a_1 = 17{,}4\) и \(a_1 = 8{,}7\). Все десять чисел равны \(8{,}7\), они же образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = \frac{a_2}{a_1} = 1\).
Второй случай: \(d = 3a_1\). Тогда \(2a_1 + 27a_1 = 17{,}4\), то есть \(29a_1 = 17{,}4\), откуда \(a_1 = 0{,}6\) и \(d = 1{,}8\). Второй член \(a_2 = 0{,}6 + 1{,}8 = 2{,}4\), знаменатель \(q = \frac{2{,}4}{0{,}6} = 4\).
Проверка: во втором случае \(a_6 = 0{,}6 + 5 \cdot 1{,}8 = 9{,}6\), и \(2{,}4^2 = 5{,}76 = 0{,}6 \cdot 9{,}6\).
Ответ: 1) \(a_1 = 8{,}7\), \(d = 0\) или \(a_1 = 0{,}6\), \(d = 1{,}8\); 2) \(q = 1\) или \(q = 4\).
