Страница 152 номер 6.3.35, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В геометрической прогрессии найти третий её член и знаменатель, если \(b_1 = -8\), \(S_3 = -344\).
По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\) и \(b_3 = b_1q^2\), поэтому \[S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1\left(1 + q + q^2\right).\]
Подставим \(b_1 = -8\) и \(S_3 = -344\): \[-8\left(1 + q + q^2\right) = -344,\qquad 1 + q + q^2 = 43,\qquad q^2 + q - 42 = 0.\]
Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169\), \(\sqrt{D} = 13\), поэтому \[q_1 = \frac{-1 + 13}{2} = 6,\qquad q_2 = \frac{-1 - 13}{2} = -7.\]
Оба корня отличны от нуля, значит, условию отвечают две прогрессии.
Если \(q = 6\), то \(b_3 = b_1q^2 = -8 \cdot 6^2 = -8 \cdot 36 = -288\); прогрессия \(-8\); \(-48\); \(-288\); … , и \(-8 - 48 - 288 = -344\).
Если \(q = -7\), то \(b_3 = b_1q^2 = -8 \cdot (-7)^2 = -8 \cdot 49 = -392\); прогрессия \(-8\); \(56\); \(-392\); … , и \(-8 + 56 - 392 = -344\).
Ответ: \(b_3 = -288\), \(q = 6\) или \(b_3 = -392\), \(q = -7\).
В геометрической прогрессии найти третий её член и знаменатель, если \(b_1 = -8\), \(S_3 = -344\).
По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\) и \(b_3 = b_1q^2\), поэтому сумма первых трёх членов равна \[S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1\left(1 + q + q^2\right).\]
Подставим \(b_1 = -8\) и \(S_3 = -344\): \[-8\left(1 + q + q^2\right) = -344,\qquad 1 + q + q^2 = 43,\qquad q^2 + q - 42 = 0.\]
Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169\), \(\sqrt{D} = 13\), поэтому \[q_1 = \frac{-1 + 13}{2} = 6,\qquad q_2 = \frac{-1 - 13}{2} = -7.\]
Оба корня отличны от нуля, значит, условию отвечают две прогрессии.
Если \(q = 6\), то \(b_3 = b_1q^2 = -8 \cdot 6^2 = -8 \cdot 36 = -288\); прогрессия \(-8\); \(-48\); \(-288\); … , и \(-8 - 48 - 288 = -344\).
Если \(q = -7\), то \(b_3 = b_1q^2 = -8 \cdot (-7)^2 = -8 \cdot 49 = -392\); прогрессия \(-8\); \(56\); \(-392\); … , и \(-8 + 56 - 392 = -344\).
Ответ: \(b_3 = -288\), \(q = 6\) или \(b_3 = -392\), \(q = -7\).
