Страница 152 номер 6.3.36, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Прогрессия бесконечно убывающая, если \(|q| < 1\); сумма такой прогрессии — по формуле \(S = \frac{b_1}{1 - q}\).
1) По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\), поэтому \(b_1 = \frac{b_2}{q} = \sqrt{3} : \frac{1}{3} = 3\sqrt{3}\). \[S = \frac{3\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2}.\]
2) По формуле \(n\)-го члена \(b_3 = b_1q^2\), поэтому \(b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{1}{4} = 2\sqrt{2}\). \[S = \frac{2\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}.\]
3) Здесь \(q^2 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), поэтому \(b_1 = \frac{b_3}{q^2} = 2 : \frac{1}{2} = 4\). Модуль знаменателя меньше единицы, так как \(\sqrt{2} < 2\). \[S = \frac{4}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{2 + \sqrt{2}}.\] Умножим числитель и знаменатель на \(2 - \sqrt{2}\): \[S = \frac{8\left(2 - \sqrt{2}\right)}{\left(2 + \sqrt{2}\right)\left(2 - \sqrt{2}\right)} = \frac{8\left(2 - \sqrt{2}\right)}{4 - 2} = 8 - 4\sqrt{2}.\]
4) По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\), поэтому \(b_1 = \frac{b_2}{q} = 3 : \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{9}{\sqrt{3}} = -3\sqrt{3}\). Модуль знаменателя меньше единицы, так как \(\sqrt{3} < 3\). \[S = \frac{-3\sqrt{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{-9\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}.\] Умножим числитель и знаменатель на \(3 - \sqrt{3}\): \[S = \frac{-9\sqrt{3}\left(3 - \sqrt{3}\right)}{\left(3 + \sqrt{3}\right)\left(3 - \sqrt{3}\right)} = \frac{27 - 27\sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{9 - 9\sqrt{3}}{2}.\]
Ответ: 1) \(S = \frac{9\sqrt{3}}{2}\); 2) \(S = 4\sqrt{2}\); 3) \(S = 8 - 4\sqrt{2}\); 4) \(S = \frac{9 - 9\sqrt{3}}{2}\).
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть \(|q| < 1\); сумма такой прогрессии находится по формуле \(S = \frac{b_1}{1 - q}\).
1) По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\), поэтому \(b_1 = \frac{b_2}{q} = \sqrt{3} : \frac{1}{3} = 3\sqrt{3}\). \[S = \frac{3\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2}.\]
2) По формуле \(n\)-го члена \(b_3 = b_1q^2\), поэтому \(b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{1}{4} = 2\sqrt{2}\). \[S = \frac{2\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}.\]
3) Здесь \(q^2 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), поэтому \(b_1 = \frac{b_3}{q^2} = 2 : \frac{1}{2} = 4\). Модуль знаменателя меньше единицы, так как \(\sqrt{2} < 2\). \[S = \frac{4}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{2 + \sqrt{2}}.\]
Умножим числитель и знаменатель на \(2 - \sqrt{2}\), чтобы освободить знаменатель от корня: \[S = \frac{8\left(2 - \sqrt{2}\right)}{\left(2 + \sqrt{2}\right)\left(2 - \sqrt{2}\right)} = \frac{8\left(2 - \sqrt{2}\right)}{4 - 2} = 8 - 4\sqrt{2}.\]
4) По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\), поэтому \(b_1 = \frac{b_2}{q} = 3 : \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{9}{\sqrt{3}} = -3\sqrt{3}\). Модуль знаменателя меньше единицы, так как \(\sqrt{3} < 3\). \[S = \frac{-3\sqrt{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{-9\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}.\]
Умножим числитель и знаменатель на \(3 - \sqrt{3}\): \[S = \frac{-9\sqrt{3}\left(3 - \sqrt{3}\right)}{\left(3 + \sqrt{3}\right)\left(3 - \sqrt{3}\right)} = \frac{27 - 27\sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{9 - 9\sqrt{3}}{2}.\]
Ответ: 1) \(S = \frac{9\sqrt{3}}{2}\); 2) \(S = 4\sqrt{2}\); 3) \(S = 8 - 4\sqrt{2}\); 4) \(S = \frac{9 - 9\sqrt{3}}{2}\).
