Страница 153 номер 6.3.43, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В геометрической прогрессии чётное число членов. Сумма членов, стоящих на чётных местах, на 50 % меньше суммы всех её членов. Найти знаменатель прогрессии.
Пусть в прогрессии \(2n\) членов, \(S_{\text{неч}}\) — сумма членов, стоящих на нечётных местах, \(S_{\text{чёт}}\) — сумма членов, стоящих на чётных местах.
Каждый член на чётном месте равен предыдущему, умноженному на знаменатель: \(b_2 = b_1q\), \(b_4 = b_3q\), …, \(b_{2n} = b_{2n-1}q\). Сложив эти равенства почленно, получим \(S_{\text{чёт}} = qS_{\text{неч}}\), а сумма всех членов равна \[S = S_{\text{неч}} + S_{\text{чёт}} = S_{\text{неч}}(1 + q).\]
Величина, которая на 50 % меньше данной, составляет половину этой данной величины, поэтому \(S_{\text{чёт}} = 0{,}5S\), то есть \[qS_{\text{неч}} = 0{,}5S_{\text{неч}}(1 + q).\]
Сумма \(S_{\text{неч}} = b_1\left(1 + q^2 + q^4 + \ldots + q^{2n-2}\right)\) отлична от нуля: первый член прогрессии не равен нулю, знаменатель тоже, а в скобках стоит сумма положительных чисел (все показатели степеней чётные). Разделив обе части на \(S_{\text{неч}}\), получаем \[q = 0{,}5(1 + q), \qquad 2q = 1 + q, \qquad q = 1.\]
При \(q = 1\) все члены прогрессии равны \(b_1\): на чётных местах их \(n\), а всего членов \(2n\), поэтому сумма \(nb_1\) и вправду вдвое меньше суммы \(2nb_1\).
Ответ: \(q = 1\).
В геометрической прогрессии чётное число членов. Сумма членов, стоящих на чётных местах, на 50 % меньше суммы всех её членов. Найти знаменатель прогрессии.
Пусть в прогрессии \(2n\) членов. Обозначим сумму членов, стоящих на нечётных местах, через \(S_{\text{неч}}\), а сумму членов, стоящих на чётных местах, — через \(S_{\text{чёт}}\).
Каждый член на чётном месте равен предыдущему, умноженному на знаменатель: \(b_2 = b_1q\), \(b_4 = b_3q\), …, \(b_{2n} = b_{2n-1}q\). Сложив эти равенства почленно, получим \(S_{\text{чёт}} = qS_{\text{неч}}\), а сумма всех членов равна \[S = S_{\text{неч}} + S_{\text{чёт}} = S_{\text{неч}}(1 + q).\]
Величина, которая на 50 % меньше данной, составляет половину этой данной величины, поэтому \(S_{\text{чёт}} = 0{,}5S\), то есть \[qS_{\text{неч}} = 0{,}5S_{\text{неч}}(1 + q).\]
Сумма \(S_{\text{неч}} = b_1\left(1 + q^2 + q^4 + \ldots + q^{2n-2}\right)\) отлична от нуля: первый член прогрессии не равен нулю, знаменатель тоже, а в скобках стоит сумма положительных чисел (все показатели степеней чётные). Разделив обе части на \(S_{\text{неч}}\), получаем \[q = 0{,}5(1 + q), \qquad 2q = 1 + q, \qquad q = 1.\]
При \(q = 1\) все члены прогрессии равны \(b_1\): на чётных местах их \(n\), а всего членов \(2n\), поэтому сумма \(nb_1\) и вправду вдвое меньше суммы \(2nb_1\).
Ответ: \(q = 1\).
