Страница 154 номер 6.3.53, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Обозначим пять членов арифметической прогрессии через \(a\), \(a + d\), \(a + 2d\), \(a + 3d\), \(a + 4d\), где \(d\) — разность прогрессии.
После удаления двух членов остаются три; по свойству геометрической прогрессии квадрат среднего из них равен произведению крайних, и все три отличны от нуля.
Если \(d = 0\), то все пять чисел равны \(a\), причём \(a \ne 0\); любые три из них образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = 1\).
Пусть далее \(d \ne 0\). Выбрать три члена из пяти, не меняя их порядка, можно десятью способами; разберём их по номерам оставленных членов.
Тройки с номерами 1, 2, 3; 2, 3, 4 и 3, 4, 5 — это три подряд идущих члена арифметической прогрессии с разностью \(d\), а тройка с номерами 1, 3, 5 — три подряд идущих члена арифметической прогрессии с разностью \(2d\). Если средний из трёх последовательных членов арифметической прогрессии с разностью \(t\) равен \(m\), то крайние равны \(m - t\) и \(m + t\), и равенство \(m^2 = (m - t)(m + t) = m^2 - t^2\) даёт \(t = 0\). При \(d \ne 0\) ни \(d\), ни \(2d\) нулю не равны, поэтому эти четыре тройки не годятся.
Остальные шесть троек дают шесть уравнений.
Номера 1, 2, 4: \((a + d)^2 = a(a + 3d)\), то есть \(d^2 - ad = 0\); так как \(d \ne 0\), то \(a = d\). Остаются числа \(d\); \(2d\); \(4d\), и \(q = 2\).
Номера 1, 2, 5: \((a + d)^2 = a(a + 4d)\), то есть \(d^2 - 2ad = 0\); отсюда \(a = \frac{d}{2}\). Остаются числа \(\frac{d}{2}\); \(\frac{3d}{2}\); \(\frac{9d}{2}\), и \(q = 3\).
Номера 1, 3, 4: \((a + 2d)^2 = a(a + 3d)\), то есть \(4d^2 + ad = 0\); отсюда \(a = -4d\). Остаются числа \(-4d\); \(-2d\); \(-d\), и \(q = \frac{1}{2}\).
Номера 1, 4, 5: \((a + 3d)^2 = a(a + 4d)\), то есть \(9d^2 + 2ad = 0\); отсюда \(a = -4{,}5d\). Остаются числа \(-4{,}5d\); \(-1{,}5d\); \(-0{,}5d\), и \(q = \frac{1}{3}\).
Номера 2, 3, 5: \((a + 2d)^2 = (a + d)(a + 4d)\), то есть \(ad = 0\); отсюда \(a = 0\). Остаются числа \(d\); \(2d\); \(4d\), и \(q = 2\).
Номера 2, 4, 5: \((a + 3d)^2 = (a + d)(a + 4d)\), то есть \(5d^2 + ad = 0\); отсюда \(a = -5d\). Остаются числа \(-4d\); \(-2d\); \(-d\), и \(q = \frac{1}{2}\).
Во всех шести случаях оставленные числа отличны от нуля, так как \(d \ne 0\). Разных значений знаменателя вместе со случаем \(d = 0\) получилось пять.
Ответ: \(q_1 = \frac{1}{3}\), \(q_2 = \frac{1}{2}\), \(q_3 = 1\), \(q_4 = 2\), \(q_5 = 3\).
Обозначим пять членов арифметической прогрессии через \(a\), \(a + d\), \(a + 2d\), \(a + 3d\), \(a + 4d\), где \(d\) — разность прогрессии.
После удаления двух членов остаются три; по свойству геометрической прогрессии квадрат среднего из них равен произведению крайних, и все три отличны от нуля.
Если \(d = 0\), то все пять чисел равны \(a\), причём \(a \ne 0\); любые три из них образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = 1\).
Пусть далее \(d \ne 0\). Выбрать три члена из пяти, не меняя их порядка, можно десятью способами. Разберём эти способы по номерам оставленных членов.
Тройки с номерами 1, 2, 3; 2, 3, 4 и 3, 4, 5 — это три подряд идущих члена арифметической прогрессии с разностью \(d\), а тройка с номерами 1, 3, 5 — три подряд идущих члена арифметической прогрессии с разностью \(2d\). Если средний из трёх последовательных членов арифметической прогрессии с разностью \(t\) равен \(m\), то крайние равны \(m - t\) и \(m + t\), и равенство \(m^2 = (m - t)(m + t) = m^2 - t^2\) даёт \(t = 0\). При \(d \ne 0\) ни \(d\), ни \(2d\) нулю не равны, поэтому эти четыре тройки не годятся.
Остальные шесть троек дают шесть уравнений.
Номера 1, 2, 4: \((a + d)^2 = a(a + 3d)\), то есть \(d^2 - ad = 0\); так как \(d \ne 0\), то \(a = d\). Остаются числа \(d\); \(2d\); \(4d\), и \(q = 2\).
Номера 1, 2, 5: \((a + d)^2 = a(a + 4d)\), то есть \(d^2 - 2ad = 0\); отсюда \(a = \frac{d}{2}\). Остаются числа \(\frac{d}{2}\); \(\frac{3d}{2}\); \(\frac{9d}{2}\), и \(q = 3\).
Номера 1, 3, 4: \((a + 2d)^2 = a(a + 3d)\), то есть \(4d^2 + ad = 0\); отсюда \(a = -4d\). Остаются числа \(-4d\); \(-2d\); \(-d\), и \(q = \frac{1}{2}\).
Номера 1, 4, 5: \((a + 3d)^2 = a(a + 4d)\), то есть \(9d^2 + 2ad = 0\); отсюда \(a = -4{,}5d\). Остаются числа \(-4{,}5d\); \(-1{,}5d\); \(-0{,}5d\), и \(q = \frac{1}{3}\).
Номера 2, 3, 5: \((a + 2d)^2 = (a + d)(a + 4d)\), то есть \(ad = 0\); отсюда \(a = 0\). Остаются числа \(d\); \(2d\); \(4d\), и \(q = 2\).
Номера 2, 4, 5: \((a + 3d)^2 = (a + d)(a + 4d)\), то есть \(5d^2 + ad = 0\); отсюда \(a = -5d\). Остаются числа \(-4d\); \(-2d\); \(-d\), и \(q = \frac{1}{2}\).
Во всех шести случаях оставленные числа отличны от нуля, так как \(d \ne 0\). Разных значений знаменателя вместе со случаем \(d = 0\) получилось пять.
Ответ: \(q_1 = \frac{1}{3}\), \(q_2 = \frac{1}{2}\), \(q_3 = 1\), \(q_4 = 2\), \(q_5 = 3\).
