Проверочная работа. 8 класс. вариант 1 на страницах 160-162, ГДЗ по алгебре за 7 класс к сборнику задач и упражнений Ткачевой

1) Числитель — квадрат разности: \(4a^2 - 12a + 9 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = (2a - 3)^2\). Знаменатель — разность квадратов: \(9 - 4a^2 = 3^2 - (2a)^2 = (3 - 2a)(3 + 2a)\).

Квадраты противоположных выражений равны: \((2a - 3)^2 = (3 - 2a)^2\).

\[\frac{4a^2 - 12a + 9}{9 - 4a^2} = \frac{(3 - 2a)^2}{(3 - 2a)(3 + 2a)} = \frac{3 - 2a}{3 + 2a}.\]

2) Числитель разложим группировкой: \(4x - 3xy^2 - 8y + 6y^3 = x(4 - 3y^2) - 2y(4 - 3y^2) = (4 - 3y^2)(x - 2y)\). Знаменатель: \(4y^2 - x^2 = (2y - x)(2y + x)\).

Так как \(x - 2y = -(2y - x)\), то

\[\frac{(4 - 3y^2)(x - 2y)}{(2y - x)(2y + x)} = \frac{-(4 - 3y^2)(2y - x)}{(2y - x)(2y + x)} = \frac{3y^2 - 4}{2y + x}.\]

Ответ: 1) \(\frac{3 - 2a}{3 + 2a}\); 2) \(\frac{3y^2 - 4}{2y + x}\).

1) Знаменатель первой дроби — квадрат суммы: \(a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2\). Общий знаменатель дробей — \((a + 2)^2\), дополнительный множитель второй дроби равен \(a + 2\).

\[\frac{3a - b}{(a + 2)^2} - \frac{6}{a + 2} = \frac{3a - b - 6(a + 2)}{(a + 2)^2} = \frac{3a - b - 6a - 12}{(a + 2)^2} = -\frac{3a + b + 12}{(a + 2)^2}.\]

2) Сложим дроби в скобках; общий знаменатель — \(y(x + y)\):

\[\frac{y}{x + y} + \frac{x - y}{y} = \frac{y^2 + (x - y)(x + y)}{y(x + y)} = \frac{y^2 + x^2 - y^2}{y(x + y)} = \frac{x^2}{y(x + y)}.\]

Деление заменим умножением на дробь, обратную делителю:

\[\frac{x}{x + y} : \frac{x^2}{y(x + y)} = \frac{x}{x + y} \cdot \frac{y(x + y)}{x^2} = \frac{y}{x}.\]

Ответ: 1) \(-\frac{3a + b + 12}{(a + 2)^2}\); 2) \(\frac{y}{x}\).

Решим каждое неравенство системы.

Первое: \(5(x - 1) < 3x + 1\), \(5x - 5 < 3x + 1\), \(5x - 3x < 1 + 5\), \(2x < 6\), \(x < 3\).

Второе: \(-2x + 5 \geqslant 4(x - 1)\), \(-2x + 5 \geqslant 4x - 4\), \(-2x - 4x \geqslant -4 - 5\), \(-6x \geqslant -9\). Разделим обе части на отрицательное число \(-6\), изменив знак неравенства на противоположный: \(x \leqslant 1{,}5\).

Решениями системы служат числа, для которых верны оба неравенства. Каждое число, не превосходящее \(1{,}5\), меньше 3, поэтому общая часть промежутков \((-\infty;\ 3)\) и \((-\infty;\ 1{,}5]\) — это луч \((-\infty;\ 1{,}5]\).

Ответ: \((-\infty;\ 1{,}5]\).

Разложим подкоренное выражение на множители-квадраты: \(a^2 b^6 = a^2 \cdot (b^3)^2\). По свойству корня из произведения неотрицательных множителей и по равенству \(\sqrt{c^2} = |c|\) получаем \(\sqrt{a^2 b^6} = |a| \cdot |b^3|\).

Так как \(a > 0\), то \(|a| = a\). Так как \(b < 0\), то и \(b^3 < 0\), поэтому \(|b^3| = -b^3\).

\[\frac{1}{a} \sqrt{a^2 b^6} = \frac{a \cdot (-b^3)}{a} = -b^3.\]

Ответ: \(-b^3\).

Умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\) — тогда в знаменателе получится разность квадратов:

\[\frac{x}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{x\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} = \frac{x\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}{x - y}.\]

Ответ: \(\frac{x\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}{x - y}\).

Умножим обе части уравнения на \(-1\): \(3x^2 + 14x - 5 = 0\).

\(D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256\), \(D > 0\) — уравнение имеет два корня.

\[x = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 16}{6}.\]

\(x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{-30}{6} = -5\).

Ответ: \(\frac{1}{3}\); \(-5\).

Приведённое квадратное уравнение имеет вид \(x^2 + px + q = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, числа 7 и \(-2\) будут его корнями, если их сумма равна \(-p\), а произведение равно \(q\).

\(x_1 + x_2 = 7 + (-2) = 5\), значит, \(p = -5\); \(x_1 x_2 = 7 \cdot (-2) = -14\), значит, \(q = -14\).

Искомое уравнение: \(x^2 - 5x - 14 = 0\).

Ответ: \(x^2 - 5x - 14 = 0\).

Пусть меньшее число равно \(x\), тогда большее равно \(x + 8\), а их произведение равно 84:

\[x(x + 8) = 84.\]

\(x^2 + 8x - 84 = 0\); \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 64 + 336 = 400\); \(x = \frac{-8 \pm 20}{2}\); \(x_1 = 6\), \(x_2 = -14\).

Оба корня подходят: при \(x = 6\) множители равны 6 и 14, при \(x = -14\) — числам \(-14\) и \(-6\). Проверка: \(6 \cdot 14 = 84\) и \((-14) \cdot (-6) = 84\), причём \(14 - 6 = 8\) и \(-6 - (-14) = 8\).

Ответ: \(84 = 6 \cdot 14\) или \(84 = (-14) \cdot (-6)\).

При \(x < 1\) график — часть прямой \(y = -x + 2\); для прямой достаточно двух точек:

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 \\ \hline y & 4 & 2 \\ \hline \end{array}\]

При \(x \geqslant 1\) график — часть графика функции \(y = \sqrt{x}\):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 4 & 9 \\ \hline y & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}\]

В точке \(x = 1\) значения кусков совпадают: \(-1 + 2 = 1\) и \(\sqrt{1} = 1\). Значит, части графика сходятся в точке \((1;\ 1)\), разрыва нет, а сама точка — острый излом.

а) На промежутке \(x < 1\) функция задана формулой \(y = -x + 2\) с угловым коэффициентом \(-1 < 0\), поэтому там она убывает. На промежутке \(x \geqslant 1\) функция задана формулой \(y = \sqrt{x}\): большему значению аргумента отвечает большее значение корня, поэтому там функция возрастает. Промежуток возрастания — \([1;\ +\infty)\).

б) При \(x < 1\) имеем \(-x > -1\), значит, \(y = -x + 2 > 1\), то есть \(y > 0\). При \(x \geqslant 1\) имеем \(y = \sqrt{x} \geqslant 1\), то есть тоже \(y > 0\). Значит, функция положительна при любом значении \(x\).

Ответ: а) \([1;\ +\infty)\); б) \((-\infty;\ +\infty)\).

Разложим на множители: \(x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)\) и \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\). Первая дробь после сокращения на \(x - y\) равна \(\frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}\).

Общий знаменатель всех дробей — \((x - y)(x^2 + xy + y^2)\):

\[\frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} + \frac{x}{x^2 + xy + y^2} - \frac{2}{x - y} = \frac{(2x + y)(x - y) - 2(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}.\]

Упростим числитель: \((2x + y)(x - y) - 2(x^2 + xy + y^2) = 2x^2 - 2xy + xy - y^2 - 2x^2 - 2xy - 2y^2 = -3xy - 3y^2\).

Поменяв знаки числителя и знаменателя, получим

\[\frac{-3xy - 3y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{3xy + 3y^2}{y^3 - x^3}.\]

Ответ: \(\frac{3xy + 3y^2}{y^3 - x^3}\).

Точка первого графика лежит ниже точки второго графика с той же абсциссой тогда, когда её ордината меньше:

\[\frac{1}{2}x - 3 < -\frac{1}{3}x + 1.\]

Умножим обе части на положительное число 6: \(3x - 18 < -2x + 6\), \(3x + 2x < 6 + 18\), \(5x < 24\), \(x < 4{,}8\).

Ответ: при \(x < 4{,}8\).

Выражение имеет смысл при \(m \ne 0\) и \(n \ne 0\). По определению степени с целым отрицательным показателем \(m^{-16} = \frac{1}{m^{16}}\) и \(\frac{1}{n^{-4}} = n^4\), поэтому подкоренное выражение равно \(\frac{25n^4}{m^{16}}\).

Так как \(n^4 = (n^2)^2\) и \(m^{16} = (m^8)^2\), причём \(n^2 > 0\) и \(m^8 > 0\), то

\[\sqrt{\frac{25n^4}{m^{16}}} = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{(n^2)^2}}{\sqrt{(m^8)^2}} = \frac{5n^2}{m^8}.\]

Ответ: \(\frac{5n^2}{m^8}\).

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}\).

Знаменатель: \(\left(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}\right) = (n + 2) - n = 2\).

Числитель: \(\left(\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}\right)^2 = (n + 2) - 2\sqrt{n(n + 2)} + n = 2n + 2 - 2\sqrt{n(n + 2)}\).

\[\frac{2n + 2 - 2\sqrt{n(n + 2)}}{2} = n + 1 - \sqrt{n(n + 2)}.\]

Ответ: \(n + 1 - \sqrt{n(n + 2)}\).

Первые два слагаемых дополним до квадрата разности: \(x^2 - 8x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4\), значит, недостаёт слагаемого \(4^2 = 16\). Прибавим и вычтем его:

\[x^2 - 8x + 15 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 15 = (x - 4)^2 - 1.\]

Уравнение принимает вид \((x - 4)^2 - 1 = 0\), то есть \((x - 4)^2 = 1\).

Отсюда \(x - 4 = 1\) или \(x - 4 = -1\), значит, \(x_1 = 5\), \(x_2 = 3\).

Ответ: 3; 5.

Разложим числитель на множители. Корни уравнения \(2a^2 + 7a - 15 = 0\): \(D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169\), \(a = \frac{-7 \pm 13}{4}\), то есть \(a_1 = 1{,}5\) и \(a_2 = -5\).

По формуле разложения квадратного трёхчлена \(2a^2 + 7a - 15 = 2(a - 1{,}5)(a + 5) = (2a - 3)(a + 5)\).

Знаменатель: \(6 - 4a = -2(2a - 3)\).

\[\frac{(2a - 3)(a + 5)}{-2(2a - 3)} = -\frac{a + 5}{2}.\]

Ответ: \(-\frac{a + 5}{2}\).

Модуль числа равен 2 в двух случаях: когда само число равно 2 и когда оно равно \(-2\). Значит, уравнение распадается на два.

Первое: \(x^2 - 3x = 2\), \(x^2 - 3x - 2 = 0\); \(D = 9 + 8 = 17\); \(x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\).

Второе: \(x^2 - 3x = -2\), \(x^2 - 3x + 2 = 0\); \(D = 9 - 8 = 1\); \(x = \frac{3 \pm 1}{2}\), то есть \(x = 2\) и \(x = 1\).

Ответ: 1; 2; \(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}\); \(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\).

Дроби имеют смысл при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\).

Из второго уравнения \(x = y + 8\). Подставим это выражение в первое уравнение:

\[\frac{1}{y + 8} + \frac{1}{y} = -\frac{2}{15}.\]

Умножим обе части на общий знаменатель \(15y(y + 8)\): \(15y + 15(y + 8) = -2y(y + 8)\), \(30y + 120 = -2y^2 - 16y\), \(2y^2 + 46y + 120 = 0\), \(y^2 + 23y + 60 = 0\).

\(D = 23^2 - 4 \cdot 60 = 529 - 240 = 289\); \(y = \frac{-23 \pm 17}{2}\); \(y_1 = -3\), \(y_2 = -20\).

Оба значения отличны от нуля. При \(y = -3\) получаем \(x = -3 + 8 = 5\), при \(y = -20\) получаем \(x = -20 + 8 = -12\); оба значения \(x\) тоже отличны от нуля.

Проверка: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{-3} = \frac{3 - 5}{15} = -\frac{2}{15}\) и \(5 - (-3) = 8\); \(\frac{1}{-12} + \frac{1}{-20} = \frac{-5 - 3}{60} = -\frac{2}{15}\) и \(-12 - (-20) = 8\).

Ответ: \((5;\ -3)\); \((-12;\ -20)\).

Дано:
совместная работа — 12 дней
второй рабочий работает на 10 дней дольше первого

Найти: число дней работы каждого рабочего в отдельности.

Решение: Пусть первый рабочий отремонтировал бы квартиру за \(x\) дней, тогда второму понадобилось бы \((x + 10)\) дней. Всю работу примем за 1.

За один день первый рабочий выполняет \(\frac{1}{x}\) часть работы, второй — \(\frac{1}{x + 10}\) часть, а вместе они выполняют \(\frac{1}{12}\) часть работы.

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12}.\]

Умножим обе части на общий знаменатель \(12x(x + 10)\): \(12(x + 10) + 12x = x(x + 10)\), \(24x + 120 = x^2 + 10x\), \(x^2 - 14x - 120 = 0\).

\(D = 14^2 + 4 \cdot 120 = 196 + 480 = 676\); \(x = \frac{14 \pm 26}{2}\); \(x_1 = 20\), \(x_2 = -6\).

Число дней положительно, поэтому корень \(-6\) не подходит: \(x = 20\) (дней) — время работы первого рабочего. Тогда \(20 + 10 = 30\) (дней) — время работы второго рабочего.

Ответ: 20 дней; 30 дней.

При \(x < 1\) график — часть кубической параболы \(y = x^3\):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 \\ \hline y & -1 & -0{,}125 & 0 & 0{,}125 \\ \hline \end{array}\]

При \(x \geqslant 1\) график — луч прямой \(y = -2x + 3\); для прямой достаточно двух точек:

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & -1 \\ \hline \end{array}\]

В точке \(x = 1\) значения кусков совпадают: \(1^3 = 1\) и \(-2 \cdot 1 + 3 = 1\). Значит, части графика сходятся в точке \((1;\ 1)\); в ней у графика острый излом, и это наибольшее значение функции. Ось \(x\) луч пересекает в точке \((1{,}5;\ 0)\).

Ответ: график состоит из части кубической параболы \(y = x^3\) при \(x < 1\) и луча прямой \(y = -2x + 3\) при \(x \geqslant 1\); куски сходятся в точке \((1;\ 1)\), где функция принимает наибольшее значение 1.

Разложим основания степеней на простые множители: \(15^{2n+1} = (3 \cdot 5)^{2n+1} = 3^{2n+1} \cdot 5^{2n+1}\), \(225^n = (3^2 \cdot 5^2)^n = 3^{2n} \cdot 5^{2n}\), \(3^{2(n+1)} = 3^{2n+2}\).

Перемножим числители и знаменатели и применим свойства степеней:

\[\frac{3^{2n+1} \cdot 5^{2n+1} \cdot 3^{2n-1} \cdot 5^{n+1}}{5^n \cdot 3^{2n+2} \cdot 3^{2n} \cdot 5^{2n}} = \frac{3^{4n} \cdot 5^{3n+2}}{3^{4n+2} \cdot 5^{3n}} = 3^{-2} \cdot 5^{2} = \frac{25}{9}.\]

Ответ: \(\frac{25}{9}\).

В числителе выделим квадрат разности: \(10 - 2\sqrt{21} = 7 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + 3 = \left(\sqrt{7}\right)^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = \left(\sqrt{7} - \sqrt{3}\right)^2\).

\[\frac{\left(\sqrt{7} - \sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \sqrt{7} - \sqrt{3}.\]

Ответ: \(\sqrt{7} - \sqrt{3}\).

Выражение имеет смысл при \(-b \geqslant 0\), то есть при \(b \leqslant 0\). Значит, множитель \(b\) неположителен, и под корень его можно внести только вместе со знаком «минус»: \(b = -|b| = -\sqrt{b^2}\).

\[b\sqrt{-b} = -\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{-b} = -\sqrt{b^2 \cdot (-b)} = -\sqrt{-b^3}.\]

Ответ: \(-\sqrt{-b^3}\).

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения. По теореме Виета \(x_1 + x_2 = 4\) и \(x_1 x_2 = a\).

Разность квадратов корней разложим на множители: \(x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2)\). Первый множитель равен 4, поэтому разность квадратов корней равна \(4(x_1 - x_2)\). По условию она равна 48, поэтому \(4(x_1 - x_2) = 48\), то есть \(x_1 - x_2 = 12\).

Вместе с \(x_1 + x_2 = 4\) это даёт \(2x_1 = 16\), \(x_1 = 8\) и \(x_2 = 4 - 8 = -4\).

Значит, \(a = x_1 x_2 = 8 \cdot (-4) = -32\).

Проверка: при \(a = -32\) уравнение \(x^2 - 4x - 32 = 0\) имеет \(D = 16 + 128 = 144\) и корни \(\frac{4 \pm 12}{2}\), то есть 8 и \(-4\); разность их квадратов \(8^2 - (-4)^2 = 64 - 16 = 48\).

Ответ: при \(a = -32\).

Пусть \(a\) — цифра десятков, \(b\) — цифра единиц искомого числа. Тогда само число равно \(10a + b\), сумма его цифр равна \(a + b\), а произведение равно \(ab\). Деление с остатком даёт систему:

\[\begin{cases} 10a + b = 7(a + b) + 3, \\ 10a + b = 3ab + 10. \end{cases}\]

Первое уравнение: \(10a + b = 7a + 7b + 3\), \(3a - 6b = 3\), \(a = 2b + 1\).

Подставим во второе: \(10(2b + 1) + b = 3(2b + 1)b + 10\), \(21b + 10 = 6b^2 + 3b + 10\), \(6b^2 - 18b = 0\), \(6b(b - 3) = 0\). Отсюда \(b = 0\) или \(b = 3\).

При \(b = 0\) произведение цифр равно нулю, а делить на нуль нельзя — это значение не подходит.

При \(b = 3\) получаем \(a = 2 \cdot 3 + 1 = 7\), то есть число 73.

Проверка: сумма цифр \(7 + 3 = 10\) и \(73 = 7 \cdot 10 + 3\); произведение цифр \(7 \cdot 3 = 21\) и \(73 = 3 \cdot 21 + 10\); остатки 3 и 10 меньше делителей 10 и 21.

Ответ: 73.

Выражение \(x - 3\) меняет знак при \(x = 3\), выражение \(x + 2\) — при \(x = -2\). Эти числа разбивают координатную прямую на три промежутка; разберём каждый.

1) \(x < -2\). Тогда \(x - 3 < 0\) и \(x + 2 < 0\), поэтому \(|x - 3| = 3 - x\) и \(|x + 2| = -x - 2\). Неравенство: \(3 - x - x - 2 < 7\), \(-2x < 6\), \(x > -3\). Вместе с условием \(x < -2\) получаем \(-3 < x < -2\).

2) \(-2 \leqslant x < 3\). Тогда \(|x - 3| = 3 - x\) и \(|x + 2| = x + 2\). Неравенство: \(3 - x + x + 2 < 7\), \(5 < 7\) — верное числовое неравенство при любом \(x\). Значит, годится весь промежуток \(-2 \leqslant x < 3\).

3) \(x \geqslant 3\). Тогда \(|x - 3| = x - 3\) и \(|x + 2| = x + 2\). Неравенство: \(x - 3 + x + 2 < 7\), \(2x < 8\), \(x < 4\). Вместе с условием \(x \geqslant 3\) получаем \(3 \leqslant x < 4\).

Объединив найденное в трёх случаях, получаем \(-3 < x < 4\).

Ответ: \((-3;\ 4)\).

Первое уравнение имеет смысл при любых \(x\) и \(y\), но при \(x = 0\) оно даёт неверное равенство \(0 = -3\), поэтому \(x \ne 0\) и уравнение равносильно \(y = -\frac{3}{x}\). Это обратная пропорциональность с отрицательным коэффициентом: её график — гипербола, ветви которой лежат во второй и четвёртой координатных четвертях.

Второе уравнение даёт \(y = 1 - \sqrt{x}\); оно имеет смысл только при \(x \geqslant 0\). Значит, общие точки графиков могут быть только при \(x > 0\).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline -\frac{3}{x} & -3 & -1{,}5 & -1 & -0{,}75 \\ \hline 1 - \sqrt{x} & 0 & \approx -0{,}41 & \approx -0{,}73 & -1 \\ \hline \end{array}\]

Ветвь гиперболы во второй четверти лежит выше оси \(x\), а кривая \(y = 1 - \sqrt{x}\) левее оси \(y\) не идёт, поэтому там общих точек нет. В четвёртой четверти ветвь гиперболы поднимается к оси \(x\), а кривая \(y = 1 - \sqrt{x}\) опускается, и пересекаются они ровно один раз — около точки \((3{,}5;\ -0{,}9)\).

Ответ: одно решение.