Страница 152 номер 6.3.29, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Дано:
\(6{,}25\,\%\) — доля углерода, оставшаяся от первоначального количества
5360 лет — период полураспада
Найти: сколько лет назад жил мамонт.
Решение:
За каждый период полураспада количество углерода уменьшается вдвое, поэтому количества углерода в начале периодов образуют геометрическую прогрессию с \(q = \frac{1}{2}\).
Первоначальное количество примем за единицу, тогда \(b_1 = 1\) и через \(k\) периодов полураспада остаётся \(b_{k+1} = b_1q^k = \left(\frac{1}{2}\right)^k\) первоначального количества.
\(6{,}25\,\% = \frac{6{,}25}{100} = \frac{1}{16}\), и уравнение \(\left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{16}\) решается сравнением степеней: \(\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^4\), поэтому \(k = 4\) — со времени гибели мамонта прошло четыре периода полураспада.
\(4 \cdot 5360 = 21\,440\) (лет) — возраст останков.
Ответ: 21 440 лет назад.
Дано:
\(6{,}25\,\%\) — доля углерода, оставшаяся от первоначального количества
5360 лет — период полураспада
Найти: сколько лет назад жил мамонт.
Решение:
За каждый период полураспада количество радиоактивного углерода уменьшается вдвое. Значит, количества углерода в начале первого, второго, третьего и т. д. периодов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = \frac{1}{2}\).
Примем первоначальное количество углерода за единицу, тогда \(b_1 = 1\), и через \(k\) периодов полураспада остаётся \[b_{k+1} = b_1q^k = \left(\frac{1}{2}\right)^k\] первоначального количества.
По условию осталось \(6{,}25\,\%\) первоначального количества, а \(6{,}25\,\% = \frac{6{,}25}{100} = \frac{1}{16}\). Решаем уравнение \[\left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{16}.\]
Так как \(\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^4\), то \(k = 4\): со времени гибели мамонта прошло четыре периода полураспада.
\(4 \cdot 5360 = 21\,440\) (лет) — возраст останков.
Ответ: 21 440 лет назад.
