Проверочная работа. 9 класс. вариант 2 на страницах 167-169, ГДЗ по алгебре за 7 класс к сборнику задач и упражнений Ткачевой

Графиком функции \(y = \dfrac{1}{2}x^2 - x - 4\) является парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = \dfrac{1}{2} > 0\).

Найдём координаты вершины параболы: \[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1,\] \[y_0 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - 1 - 4 = -4{,}5.\] Вершина параболы — точка \((1;\ -4{,}5)\), ось симметрии — прямая \(x = 1\).

Нули функции найдём из уравнения \(\dfrac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0\), то есть \(x^2 - 2x - 8 = 0\). По теореме Виета его корни \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 4\), значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2;\ 0)\) и \((4;\ 0)\). Ось \(y\) график пересекает в точке \((0;\ -4)\); симметричная ей точка — \((2;\ -4)\).

Составим таблицу значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & 0 & -4 & -4{,}5 & -4 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Построим по этим точкам график функции.

1) График лежит ниже оси \(x\) между точками \((-2;\ 0)\) и \((4;\ 0)\), а вне отрезка между ними — выше оси \(x\). Значит, \(y > 0\) при \(x < -2\) и при \(x > 4\), а \(y < 0\) при \(-2 < x < 4\).

2) Слева от оси симметрии \(x = 1\) график опускается, справа — поднимается: функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 1]\) и возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\).

3) Наименьшее значение функция принимает в вершине параболы, то есть при \(x = 1\), и это значение равно \(y(1) = -4{,}5\).

Область определения функции — все числа, она симметрична относительно нуля. Заменим \(x\) на \(-x\): \(y(-x) = \dfrac{1}{2}x^2 + x - 4\). Это выражение не совпадает ни с \(y(x)\), ни с \(-y(x)\). Например, \(y(2) = -4\), а \(y(-2) = 0\), то есть \(y(-2) \ne y(2)\) и \(y(-2) \ne -y(2)\). Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: 1) \(y > 0\) при \(x < -2\) и при \(x > 4\), \(y < 0\) при \(-2 < x < 4\); 2) функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 1]\) и возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\); 3) наименьшее значение, равное \(-4{,}5\), функция принимает при \(x = 1\); функция не является ни чётной, ни нечётной.

Здесь \(a = 1\), \(b = m\), \(c = n\). Абсцисса вершины параболы находится по формуле \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\), поэтому \[-\frac{m}{2} = -2, \qquad m = 4.\] Ордината вершины равна значению функции при \(x = -2\), а оно по условию равно 1: \[(-2)^2 + 4 \cdot (-2) + n = 1, \qquad 4 - 8 + n = 1, \qquad n = 5.\]

Ответ: \(m = 4\), \(n = 5\).

1) Решим уравнение \(x^2 + 6x - 9 = 0\): \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72, \qquad \sqrt{72} = 6\sqrt{2},\] \[x = \frac{-6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{2}.\] Ветви параболы \(y = x^2 + 6x - 9\) направлены вверх, поэтому не выше оси \(x\) она расположена между корнями. Неравенство нестрогое, и корни входят в ответ: \(-3 - 3\sqrt{2} \leqslant x \leqslant -3 + 3\sqrt{2}\).

2) Рассмотрим функцию \(y = 2x^2 - 3x + 4\); её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Решим уравнение \(2x^2 - 3x + 4 = 0\): \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23 < 0.\] Корней нет, значит, парабола целиком расположена выше оси \(x\) и трёхчлен принимает только положительные значения. Неравенство \(2x^2 - 3x + 4 < 0\) решений не имеет.

3) Разложим левую часть на множители: \(3x^2 - x = x(3x - 1)\). Нули трёхчлена: \(x = 0\) и \(x = \dfrac{1}{3}\). Ветви параболы \(y = 3x^2 - x\) направлены вверх, поэтому выше оси \(x\) она расположена вне отрезка между нулями: \(x < 0\) или \(x > \dfrac{1}{3}\).

Ответ: 1) \(\left[-3 - 3\sqrt{2};\ -3 + 3\sqrt{2}\right]\); 2) решений нет; 3) \((-\infty;\ 0) \cup \left(\dfrac{1}{3};\ +\infty\right)\).

По формуле \(n\)-го члена арифметической прогрессии \(a_{12} = a_1 + 11d\). Подставим данные: \[5{,}3 = a_1 + 11 \cdot (-1{,}3), \qquad 5{,}3 = a_1 - 14{,}3, \qquad a_1 = 19{,}6.\]

Ответ: \(a_1 = 19{,}6\).

Известны первый и пятнадцатый члены, поэтому применим формулу суммы \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\): \[S_{15} = \frac{13 + 45}{2} \cdot 15 = \frac{58}{2} \cdot 15 = 29 \cdot 15 = 435.\]

Ответ: \(S_{15} = 435\).

По формуле \(n\)-го члена геометрической прогрессии \(b_6 = b_1 q^5\), поэтому \[q^5 = \frac{b_6}{b_1} = \frac{-\frac{1}{8}}{-4} = \frac{1}{32}.\] Показатель степени нечётный, поэтому значение знаменателя единственно: \(\dfrac{1}{32} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5\), откуда \(q = \dfrac{1}{2}\).

Ответ: \(q = \dfrac{1}{2}\).

Знаменатель прогрессии отличен от единицы, поэтому применима формула \(S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\): \[\begin{aligned} &S_3 = \frac{-12\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^3\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{-12\left(1 - \frac{1}{27}\right)}{\frac{2}{3}} = {} \\ &= -12 \cdot \frac{26}{27} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{52}{3} = -17\frac{1}{3}. \end{aligned}\] Проверка: \(b_2 = -12 \cdot \dfrac{1}{3} = -4\), \(b_3 = -4 \cdot \dfrac{1}{3} = -\dfrac{4}{3}\), и \(-12 - 4 - \dfrac{4}{3} = -17\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \(S_3 = -17\dfrac{1}{3}\).

При \(x < 1\) график — часть параболы \(y = -x^2 + 4\), ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке \((0;\ 4)\). Нули этой параболы: \(-x^2 + 4 = 0\), то есть \(x = -2\) и \(x = 2\); условию \(x < 1\) удовлетворяет только число \(-2\).

При \(x \geqslant 1\) график — луч прямой \(y = 3x\), выходящий из точки \((1;\ 3)\) и проходящий через точку \((2;\ 6)\).

При \(x = 1\) первая формула дала бы значение \(-1 + 4 = 3\), а вторая даёт \(3 \cdot 1 = 3\) — значения совпадают, поэтому график не разрывается, а лишь ломается в точке \((1;\ 3)\).

Построим график функции.

Ответ: график состоит из дуги параболы \(y = -x^2 + 4\) с вершиной \((0;\ 4)\) и нулём \(-2\), взятой при \(x < 1\), и луча прямой \(y = 3x\), выходящего из точки \((1;\ 3)\) и проходящего через точку \((2;\ 6)\); в точке \((1;\ 3)\) график имеет излом.

Дано:
\(x\) — основание параллелограмма, см
\(12 - x\) — высота, проведённая к основанию, см

Найти: основание и высоту, при которых площадь параллелограмма наибольшая.

Решение: Пусть основание параллелограмма равно \(x\) см. Тогда высота, проведённая к нему, равна \((12 - x)\) см, причём обе величины положительны, то есть \(0 < x < 12\).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведённую к нему высоту, поэтому \(S(x) = x(12 - x) = -x^2 + 12x\) (см²).

Зависимость площади от основания — квадратичная функция, графиком которой служит парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы: \[x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6.\] Найденное значение принадлежит промежутку \((0;\ 12)\), значит, основание равно 6 см, а высота равна \(12 - 6 = 6\) (см). Наибольшая площадь при этом равна \(S(6) = 6 \cdot 6 = 36\) (см²).

Ответ: основание 6 см и высота 6 см; наибольшая площадь равна 36 см².

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби — отличным от нуля: \[\frac{x - 4}{x^2 + x - 6} \geqslant 0, \qquad x^2 + x - 6 \ne 0.\] Разложим знаменатель на множители. Корни трёхчлена \(x^2 + x - 6\) по теореме Виета равны 2 и \(-3\), поэтому \(x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)\), и числа 2 и \(-3\) в область определения не входят.

Знак дроби \(\dfrac{x - 4}{(x - 2)(x + 3)}\) совпадает со знаком произведения \((x - 4)(x - 2)(x + 3)\). Его нули: \(-3\), 2 и 4. На крайнем справа промежутке \((4;\ +\infty)\) все три множителя положительны, значит, произведение положительно; при переходе через каждый нуль знак меняется: на промежутке \((2;\ 4)\) — минус, на промежутке \((-3;\ 2)\) — плюс, на промежутке \((-\infty;\ -3)\) — минус.

Подкоренное выражение неотрицательно при \(-3 < x < 2\) и при \(x \geqslant 4\).

Ответ: \((-3;\ 2) \cup [4;\ +\infty)\).

Решением системы служат те корни уравнения, которые удовлетворяют неравенству.

Решим уравнение \(x^2 - 3x - 18 = 0\): \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81, \qquad x = \frac{3 \pm 9}{2}.\] Корни: \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -3\).

Решим неравенство \(x^2 - 5x - 14 < 0\). Корни трёхчлена \(x^2 - 5x - 14\) по теореме Виета равны 7 и \(-2\); ветви параболы направлены вверх, поэтому ниже оси \(x\) она расположена между корнями: \(-2 < x < 7\).

Число 6 этому условию удовлетворяет, а число \(-3\) — нет, так как \(-3 < -2\).

Ответ: \(x = 6\).

По условию сумма \(a_4 + a_8\) меньше суммы \(a_5 + a_{10}\) на 9, то есть \[(a_5 + a_{10}) - (a_4 + a_8) = 9.\] Сгруппируем члены с близкими номерами. По определению арифметической прогрессии \(a_5 - a_4 = d\), а от восьмого члена до десятого два шага, поэтому \(a_{10} - a_8 = 2d\). Значит, \[d + 2d = 9, \qquad 3d = 9, \qquad d = 3.\]

Ответ: \(d = 3\).

От девятого члена до двадцать первого \(21 - 9 = 12\) шагов, поэтому \(a_{21} = a_9 + 12d\): \[-4 = 2 + 12d, \qquad 12d = -6, \qquad d = -0{,}5.\] Первый член найдём обратным ходом: \(a_1 = a_9 - 8d = 2 - 8 \cdot (-0{,}5) = 6\).

Теперь вычислим сумму: \[S_{21} = \frac{a_1 + a_{21}}{2} \cdot 21 = \frac{6 + (-4)}{2} \cdot 21 = 1 \cdot 21 = 21.\]

Ответ: \(S_{21} = 21\).

Дано:
\(b_1 = 100\,000\) р. — вклад 2 января 2022 г.
\(p = 6\ \%\) — годовая ставка
2 года — срок вклада

Найти: сумму вклада 2 января 2024 г.

Решение: За год сумма вклада увеличивается на 6 %, то есть составляет 106 % прежней и умножается на \(1{,}06\). С 2 января 2022 г. до 2 января 2024 г. проходит два года, поэтому проценты начисляются дважды.

Суммы на счёте 2 января каждого года образуют геометрическую прогрессию с первым членом \(100\,000\) р. и знаменателем \(q = 1{,}06\). Сумма 2 января 2024 г. — третий член этой прогрессии: \[b_3 = b_1 q^2 = 100\,000 \cdot 1{,}06^2 = 100\,000 \cdot 1{,}1236 = 112\,360.\]

Ответ: \(112\,360\) р.

От третьего члена до пятого два шага, поэтому \(b_5 = b_3 q^2\): \[q^2 = \frac{b_5}{b_3} = \frac{27}{3} = 9.\] Отсюда \(q = 3\) или \(q = -3\). Все члены прогрессии положительны, а при \(q = -3\) знаки членов чередовались бы, поэтому \(q = 3\).

Из равенства \(b_3 = b_1 q^2\) находим первый член: \(3 = 9b_1\), откуда \(b_1 = \dfrac{1}{3}\).

Вычислим сумму первых пяти членов: \[S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{1}{3}(243 - 1)}{3 - 1} = \frac{242}{6} = 40\frac{1}{3}.\]

Ответ: \(S_5 = 40\dfrac{1}{3}\).

По определению модуля там, где \(-x^2 + 4x + 5 \geqslant 0\), график функции совпадает с графиком \(y = -x^2 + 4x + 5\), а там, где \(-x^2 + 4x + 5 < 0\), значения меняют знак на противоположный, то есть соответствующая часть графика симметрично отражается вверх от оси \(x\).

Построим сначала параболу \(y = -x^2 + 4x + 5\). Ветви направлены вниз, координаты вершины: \[x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2, \qquad y_0 = -2^2 + 4 \cdot 2 + 5 = 9.\] Нули найдём из уравнения \(-x^2 + 4x + 5 = 0\), то есть \(x^2 - 4x - 5 = 0\). По теореме Виета его корни равны 5 и \(-1\).

Значит, при \(-1 \leqslant x \leqslant 5\) трёхчлен неотрицателен и дуга параболы с вершиной \((2;\ 9)\) остаётся на месте, а при \(x < -1\) и при \(x > 5\) части параболы отражаются вверх. Отмеченные точки: \((0;\ 5)\) и \((4;\ 5)\) на дуге, \((-2;\ 7)\) и \((6;\ 7)\) на отражённых ветвях.

Построим график функции.

Ответ: график состоит из дуги параболы \(y = -x^2 + 4x + 5\) с вершиной \((2;\ 9)\), взятой при \(-1 \leqslant x \leqslant 5\), и двух ветвей, симметричных остальным частям этой параболы относительно оси \(x\); общие точки с осью \(x\) — \((-1;\ 0)\) и \((5;\ 0)\), в них график имеет изломы.

На рисунке ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке \((-2;\ -2)\), ось \(x\) график пересекает в точках \((-3;\ 0)\) и \((-1;\ 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0;\ 6)\).

Параболу с вершиной \((m;\ n)\) задаёт формула \(y = a(x - m)^2 + n\), поэтому \[y = a(x + 2)^2 - 2.\] График проходит через точку \((0;\ 6)\), значит, при \(x = 0\) значение функции равно 6: \[6 = a(0 + 2)^2 - 2, \qquad 4a = 8, \qquad a = 2.\] Раскроем скобки: \[y = 2(x + 2)^2 - 2 = 2x^2 + 8x + 8 - 2 = 2x^2 + 8x + 6.\] Проверка: при \(x = -1\) получаем \(2 - 8 + 6 = 0\) — парабола действительно проходит через точку \((-1;\ 0)\).

Ответ: \(y = 2x^2 + 8x + 6\).

Модуль числа не превосходит 6 тогда и только тогда, когда само число не меньше \(-6\) и не больше 6. Значит, неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^2 + 5x \leqslant 6, \\ x^2 + 5x \geqslant -6 \end{cases}\] то есть системе \[\begin{cases} x^2 + 5x - 6 \leqslant 0, \\ x^2 + 5x + 6 \geqslant 0. \end{cases}\] Корни трёхчлена \(x^2 + 5x - 6\) по теореме Виета равны 1 и \(-6\); ветви параболы направлены вверх, поэтому первому неравенству удовлетворяют числа промежутка \(-6 \leqslant x \leqslant 1\).

Корни трёхчлена \(x^2 + 5x + 6\) равны \(-2\) и \(-3\); ветви параболы направлены вверх, поэтому второму неравенству удовлетворяют числа \(x \leqslant -3\) и \(x \geqslant -2\).

Общие решения обоих неравенств образуют два промежутка: от \(-6\) до \(-3\) и от \(-2\) до 1, причём все концы входят в ответ.

Ответ: \([-6;\ -3] \cup [-2;\ 1]\).

Обозначим искомые числа \(b_1\), \(b_2\) и 9. Так как они образуют геометрическую прогрессию, квадрат второго члена равен произведению соседних с ним: \[b_2^2 = 9b_1.\] Числа \(b_1\), \(b_2\) и 5 образуют арифметическую прогрессию, поэтому второй член равен среднему арифметическому соседних: \[2b_2 = b_1 + 5.\] Из первого равенства \(b_1 = \dfrac{b_2^2}{9}\). Подставим это выражение во второе равенство и умножим обе части на 9: \[2b_2 = \frac{b_2^2}{9} + 5, \qquad 18b_2 = b_2^2 + 45, \qquad b_2^2 - 18b_2 + 45 = 0.\] Дискриминант \(D = 324 - 180 = 144\), поэтому \(b_2 = \dfrac{18 \pm 12}{2}\), то есть \(b_2 = 15\) или \(b_2 = 3\).

При \(b_2 = 3\) получаем \(b_1 = \dfrac{9}{9} = 1\) и числа 1; 3; 9 — это геометрическая прогрессия со знаменателем 3, а числа 1; 3; 5 образуют арифметическую прогрессию с разностью 2.

При \(b_2 = 15\) получаем \(b_1 = \dfrac{225}{9} = 25\) и числа 25; 15; 9 — это геометрическая прогрессия со знаменателем \(\dfrac{3}{5}\), а числа 25; 15; 5 образуют арифметическую прогрессию с разностью \(-10\).

Условию отвечают оба набора.

Ответ: 1; 3; 9 или 25; 15; 9.

Запишем дробь в виде суммы: \[2{,}4(3) = 2{,}4333\ldots = 2{,}4 + 0{,}03 + 0{,}003 + 0{,}0003 + \ldots\] Слагаемые, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию, у которой \(b_1 = 0{,}03\) и \(q = 0{,}1\). Геометрическая прогрессия, знаменатель которой по модулю меньше единицы, называется бесконечно убывающей, и сумма всех её членов находится по формуле \(S = \dfrac{b_1}{1 - q}\): \[S = \frac{0{,}03}{1 - 0{,}1} = \frac{0{,}03}{0{,}9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}.\] Осталось прибавить к этой сумме число \(2{,}4 = 2\dfrac{2}{5} = 2\dfrac{12}{30}\): \[2{,}4(3) = 2\frac{12}{30} + \frac{1}{30} = 2\frac{13}{30}.\]

Ответ: \(2\dfrac{13}{30}\).

Разложим на множители числитель и знаменатель. По формуле разности квадратов \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Корни трёхчлена \(x^2 + 5x + 6\) по теореме Виета равны \(-2\) и \(-3\), поэтому \(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\). Корни трёхчлена \(x^2 + 2x - 3\) равны 1 и \(-3\), поэтому \(x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)\).

Дробь имеет смысл при \(x \ne 1\) и \(x \ne -3\). При этих значениях \(x\) дробь можно сократить: \[y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 3)} = (x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2.\] Значит, график — парабола \(y = x^2 + 3x + 2\), из которой выколоты две точки. Ветви направлены вверх, координаты вершины: \[x_0 = -\frac{3}{2} = -1{,}5, \qquad y_0 = (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) + 2 = -0{,}25.\] Нули: \(x = -1\) и \(x = -2\); ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ 2)\).

Выколотые точки: при \(x = -3\) получилось бы \(y = 9 - 9 + 2 = 2\), а при \(x = 1\) — значение \(y = 1 + 3 + 2 = 6\). Значит, из параболы выколоты точки \((-3;\ 2)\) и \((1;\ 6)\).

Построим график функции.

Прямая \(y = a\) горизонтальна. С целой параболой \(y = x^2 + 3x + 2\) она не имеет общих точек при \(a < -0{,}25\), имеет одну общую точку при \(a = -0{,}25\) (вершина) и две общие точки при \(a > -0{,}25\). Выколотые точки убирают по одной точке на тех уровнях, на которых они лежат.

При \(a = -0{,}25\) прямая проходит через вершину \((-1{,}5;\ -0{,}25)\), а эта точка графику принадлежит — общая точка ровно одна.

При \(a = 2\) уравнение \(x^2 + 3x + 2 = 2\) даёт \(x^2 + 3x = 0\), то есть \(x = 0\) и \(x = -3\). Точка \((-3;\ 2)\) выколота, поэтому остаётся одна общая точка \((0;\ 2)\).

При \(a = 6\) уравнение \(x^2 + 3x + 2 = 6\) даёт \(x^2 + 3x - 4 = 0\), то есть \(x = 1\) и \(x = -4\). Точка \((1;\ 6)\) выколота, поэтому остаётся одна общая точка \((-4;\ 6)\).

При остальных значениях \(a > -0{,}25\) обе точки пересечения принадлежат графику и общих точек две, а при \(a < -0{,}25\) общих точек нет.

Ответ: график — парабола \(y = x^2 + 3x + 2\) с выколотыми точками \((-3;\ 2)\) и \((1;\ 6)\); ровно одна общая точка с прямой \(y = a\) получается при \(a = -0{,}25\), \(a = 2\) и \(a = 6\).