Страница 153 номер 6.3.40, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен \(\frac{\sqrt{6}}{6}\), а сумма равна \(\frac{1}{5}\).
Из формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 - q}\) выражаем первый член \(b_1 = S(1 - q)\): \[b_1 = \frac{1}{5}\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{6}\right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{6 - \sqrt{6}}{6} = \frac{6 - \sqrt{6}}{30}.\]
Второй член \(b_2 = b_1q\); при умножении учитываем, что \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\): \[b_2 = \frac{6 - \sqrt{6}}{30} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{6\sqrt{6} - 6}{180} = \frac{6\left(\sqrt{6} - 1\right)}{180} = \frac{\sqrt{6} - 1}{30}.\]
Ответ: \(b_2 = \frac{\sqrt{6} - 1}{30}\).
Найти второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен \(\frac{\sqrt{6}}{6}\), а сумма равна \(\frac{1}{5}\).
Из формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 - q}\) выражаем первый член: \(b_1 = S(1 - q)\). \[b_1 = \frac{1}{5}\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{6}\right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{6 - \sqrt{6}}{6} = \frac{6 - \sqrt{6}}{30}.\]
Второй член равен \(b_2 = b_1q\); при умножении учитываем, что \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\): \[b_2 = \frac{6 - \sqrt{6}}{30} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{6\sqrt{6} - 6}{180} = \frac{6\left(\sqrt{6} - 1\right)}{180} = \frac{\sqrt{6} - 1}{30}.\]
Ответ: \(b_2 = \frac{\sqrt{6} - 1}{30}\).
