Страница 152 номер 6.3.33, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В геометрической прогрессии с положительными членами найти \(S_n\), если: 1) \(b_4 = 108\), \(b_6 = 972\), \(n = 6\); 2) \(b_7 = 576\), \(b_9 = 2304\), \(n = 8\).
Все члены прогрессии положительны, поэтому положителен и её знаменатель: из двух корней уравнения для \(q^2\) в каждом пункте годится только положительный.
1) По формуле \(n\)-го члена \(b_4 = b_1q^3\) и \(b_6 = b_1q^5\), поэтому \[\frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1q^5}{b_1q^3} = q^2 = \frac{972}{108} = 9.\] Корни \(3\) и \(-3\); условию отвечает \(q = 3\). Первый член \(b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{108}{27} = 4\).
Сумму первых шести членов находим по формуле \(S_n = \frac{b_1\left(q^n - 1\right)}{q - 1}\) (знаменатель отличен от единицы): \[S_6 = \frac{4\left(3^6 - 1\right)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot 728}{2} = 1456.\]
2) По формуле \(n\)-го члена \(b_7 = b_1q^6\) и \(b_9 = b_1q^8\), поэтому \[\frac{b_9}{b_7} = \frac{b_1q^8}{b_1q^6} = q^2 = \frac{2304}{576} = 4.\] Корни \(2\) и \(-2\); условию отвечает \(q = 2\). Первый член \(b_1 = \frac{b_7}{q^6} = \frac{576}{64} = 9\).
Сумма первых восьми членов: \[S_8 = \frac{9\left(2^8 - 1\right)}{2 - 1} = 9 \cdot 255 = 2295.\]
Ответ: 1) \(S_6 = 1456\); 2) \(S_8 = 2295\).
В геометрической прогрессии с положительными членами найти \(S_n\), если: 1) \(b_4 = 108\), \(b_6 = 972\), \(n = 6\); 2) \(b_7 = 576\), \(b_9 = 2304\), \(n = 8\).
Все члены прогрессии положительны, поэтому положителен и её знаменатель: из двух корней уравнения для \(q^2\) в каждом пункте годится только положительный.
1) По формуле \(n\)-го члена \(b_4 = b_1q^3\) и \(b_6 = b_1q^5\), поэтому \[\frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1q^5}{b_1q^3} = q^2 = \frac{972}{108} = 9.\]
Корни уравнения \(q^2 = 9\) — числа \(3\) и \(-3\); условию отвечает \(q = 3\). Первый член: \[b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{108}{27} = 4.\]
Сумму первых шести членов находим по формуле \(S_n = \frac{b_1\left(q^n - 1\right)}{q - 1}\) (знаменатель отличен от единицы): \[S_6 = \frac{4\left(3^6 - 1\right)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot 728}{2} = 1456.\]
2) По формуле \(n\)-го члена \(b_7 = b_1q^6\) и \(b_9 = b_1q^8\), поэтому \[\frac{b_9}{b_7} = \frac{b_1q^8}{b_1q^6} = q^2 = \frac{2304}{576} = 4.\]
Корни уравнения \(q^2 = 4\) — числа \(2\) и \(-2\); условию отвечает \(q = 2\). Первый член: \[b_1 = \frac{b_7}{q^6} = \frac{576}{64} = 9.\]
Сумма первых восьми членов: \[S_8 = \frac{9\left(2^8 - 1\right)}{2 - 1} = 9 \cdot 255 = 2295.\]
Ответ: 1) \(S_6 = 1456\); 2) \(S_8 = 2295\).
