Страница 153 номер 6.3.41, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Геометрическая прогрессия с нецелым знаменателем состоит из трёх чисел, сумма которых равна 7, а сумма их квадратов равна 91. Найти первый член прогрессии.
Три данных числа \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) — последовательные члены геометрической прогрессии: \(b_1 + b_2 + b_3 = 7\) и \(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 91\).
По свойству геометрической прогрессии \(b_2^2 = b_1b_3\).
Возведём в квадрат равенство \(b_1 + b_2 + b_3 = 7\): \[b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + 2\left(b_1b_2 + b_2b_3 + b_1b_3\right) = 49,\] \[91 + 2\left(b_1b_2 + b_2b_3 + b_1b_3\right) = 49, \qquad b_1b_2 + b_2b_3 + b_1b_3 = -21.\]
Заменим здесь \(b_1b_3\) на \(b_2^2\) и вынесем \(b_2\) за скобки: \[b_1b_2 + b_2b_3 + b_2^2 = b_2\left(b_1 + b_2 + b_3\right) = 7b_2.\]
Значит, \(7b_2 = -21\) и \(b_2 = -3\). Тогда \(b_1 + b_3 = 7 - (-3) = 10\) и \(b_1b_3 = b_2^2 = 9\). По теореме, обратной теореме Виета, числа \(b_1\) и \(b_3\) — корни уравнения \(t^2 - 10t + 9 = 0\), то есть числа 1 и 9.
Если \(b_1 = 1\), то \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{1} = -3\) — знаменатель целый, а по условию он нецелый, поэтому такая прогрессия не подходит.
Если \(b_1 = 9\), то \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}\) — знаменатель нецелый, и прогрессия \(9\); \(-3\); \(1\) подходит.
Проверка: \(9 - 3 + 1 = 7\) и \(81 + 9 + 1 = 91\).
Ответ: \(b_1 = 9\).
Геометрическая прогрессия с нецелым знаменателем состоит из трёх чисел, сумма которых равна 7, а сумма их квадратов равна 91. Найти первый член прогрессии.
Обозначим три данных числа \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) — это последовательные члены геометрической прогрессии. По условию \(b_1 + b_2 + b_3 = 7\) и \(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 91\).
По свойству геометрической прогрессии квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов: \(b_2^2 = b_1b_3\).
Возведём в квадрат равенство \(b_1 + b_2 + b_3 = 7\): \[b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + 2\left(b_1b_2 + b_2b_3 + b_1b_3\right) = 49,\] \[91 + 2\left(b_1b_2 + b_2b_3 + b_1b_3\right) = 49, \qquad b_1b_2 + b_2b_3 + b_1b_3 = -21.\]
Заменим здесь \(b_1b_3\) на \(b_2^2\) и вынесем \(b_2\) за скобки: \[b_1b_2 + b_2b_3 + b_2^2 = b_2\left(b_1 + b_2 + b_3\right) = 7b_2.\]
Значит, \(7b_2 = -21\) и \(b_2 = -3\). Тогда \(b_1 + b_3 = 7 - (-3) = 10\) и \(b_1b_3 = b_2^2 = 9\). По теореме, обратной теореме Виета, числа \(b_1\) и \(b_3\) — корни уравнения \[t^2 - 10t + 9 = 0,\] то есть числа 1 и 9.
Если \(b_1 = 1\), то \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{1} = -3\) — знаменатель целый, а по условию он нецелый, поэтому такая прогрессия не подходит.
Если \(b_1 = 9\), то \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}\) — знаменатель нецелый, и прогрессия \(9\); \(-3\); \(1\) подходит.
Проверка: \(9 - 3 + 1 = 7\) и \(81 + 9 + 1 = 91\).
Ответ: \(b_1 = 9\).
