Страница 153 номер 6.3.39, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её первых трёх членов равна 19, а сумма прогрессии равна 27.
Сумма всей прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 - q} = 27\), а сумма первых трёх её членов \[S_3 = \frac{b_1\left(1 - q^3\right)}{1 - q} = 19.\]
В выражении для \(S_3\) выделяется сумма всей прогрессии: \(S_3 = \frac{b_1}{1 - q} \cdot \left(1 - q^3\right) = S\left(1 - q^3\right)\), значит, \[27\left(1 - q^3\right) = 19, \qquad 1 - q^3 = \frac{19}{27}, \qquad q^3 = \frac{8}{27}, \qquad q = \frac{2}{3}.\]
Модуль знаменателя меньше единицы, и первый член равен \[b_1 = S(1 - q) = 27\left(1 - \frac{2}{3}\right) = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9.\]
Ответ: \(b_1 = 9\).
Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её первых трёх членов равна 19, а сумма прогрессии равна 27.
Сумма всей прогрессии равна \(S = \frac{b_1}{1 - q} = 27\), а сумма первых трёх её членов равна \[S_3 = \frac{b_1\left(1 - q^3\right)}{1 - q} = 19.\]
В выражении для \(S_3\) выделяется сумма всей прогрессии: \(S_3 = \frac{b_1}{1 - q} \cdot \left(1 - q^3\right) = S\left(1 - q^3\right)\). Значит, \[27\left(1 - q^3\right) = 19,\] \[1 - q^3 = \frac{19}{27}, \qquad q^3 = \frac{8}{27}, \qquad q = \frac{2}{3}.\]
Модуль знаменателя меньше единицы, и первый член равен \[b_1 = S(1 - q) = 27\left(1 - \frac{2}{3}\right) = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9.\]
Ответ: \(b_1 = 9\).
