Проверочная работа. 9 класс. вариант 1 на страницах 165-167, ГДЗ по алгебре за 7 класс к сборнику задач и упражнений Ткачевой

Графиком функции \(y = -2x^2 + 8x - 6\) является парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -2 < 0\).

Найдём координаты вершины параболы: \[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2,\] \[y_0 = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2.\] Вершина параболы — точка \((2;\ 2)\), ось симметрии — прямая \(x = 2\).

Нули функции найдём из уравнения \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\), то есть \(x^2 - 4x + 3 = 0\). По теореме Виета его корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 3\), значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((1;\ 0)\) и \((3;\ 0)\). Ось \(y\) график пересекает в точке \((0;\ -6)\); симметричная ей относительно прямой \(x = 2\) точка — \((4;\ -6)\).

Составим таблицу значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -6 & 0 & 2 & 0 & -6 \\ \hline \end{array}\]

Построим по этим точкам график функции.

1) График лежит выше оси \(x\) между точками \((1;\ 0)\) и \((3;\ 0)\), а вне отрезка между ними — ниже оси \(x\). Значит, \(y > 0\) при \(1 < x < 3\), а \(y < 0\) при \(x < 1\) и при \(x > 3\).

2) Слева от оси симметрии \(x = 2\) график поднимается, справа — опускается: функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 2]\) и убывает на промежутке \([2;\ +\infty)\).

3) Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы, то есть при \(x = 2\), и это значение равно \(y(2) = 2\).

Область определения функции — все числа, она симметрична относительно нуля. Заменим \(x\) на \(-x\): \(y(-x) = -2x^2 - 8x - 6\). Это выражение не совпадает ни с \(y(x) = -2x^2 + 8x - 6\), ни с \(-y(x) = 2x^2 - 8x + 6\). Например, \(y(2) = 2\), а \(y(-2) = -8 - 16 - 6 = -30\), то есть \(y(-2) \ne y(2)\) и \(y(-2) \ne -y(2)\). Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: 1) \(y > 0\) при \(1 < x < 3\), \(y < 0\) при \(x < 1\) и при \(x > 3\); 2) функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 2]\) и убывает на промежутке \([2;\ +\infty)\); 3) наибольшее значение, равное 2, функция принимает при \(x = 2\); функция не является ни чётной, ни нечётной.

Квадратный корень имеет смысл только при неотрицательном подкоренном выражении, а знаменатель дроби не должен обращаться в нуль. Значит, область определения задаётся условиями \[\frac{3x - 2}{x + 1} \geqslant 0, \qquad x \ne -1.\] Знак дроби при всех допустимых значениях \(x\) совпадает со знаком произведения \((3x - 2)(x + 1)\). Нули этого произведения: \(x = \dfrac{2}{3}\) и \(x = -1\).

На крайнем справа промежутке \(\left(\dfrac{2}{3};\ +\infty\right)\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно; при переходе через каждый нуль знак меняется, значит, на промежутке \(\left(-1;\ \dfrac{2}{3}\right)\) произведение отрицательно, а на промежутке \((-\infty;\ -1)\) — положительно.

Дробь неотрицательна при \(x < -1\) и при \(x \geqslant \dfrac{2}{3}\): число \(-1\) в область определения не входит (в нём знаменатель равен нулю), а число \(\dfrac{2}{3}\) входит (в нём дробь равна нулю, и корень из нуля существует).

Ответ: \((-\infty;\ -1) \cup \left[\dfrac{2}{3};\ +\infty\right)\).

1) По формуле квадрата разности \(x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2\). Квадрат любого числа неотрицателен, а нулю он равен только при \(x - 4 = 0\), то есть при \(x = 4\). Значит, неравенство \((x - 4)^2 > 0\) верно при всех \(x\), кроме \(x = 4\).

2) Рассмотрим функцию \(y = 3x^2 + x + 4\); её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Решим уравнение \(3x^2 + x + 4 = 0\): \[D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47 < 0.\] Корней нет, значит, парабола не имеет общих точек с осью \(x\) и целиком расположена выше неё. Трёхчлен принимает только положительные значения, и неравенство \(3x^2 + x + 4 \leqslant 0\) решений не имеет.

3) Разложим левую часть на множители: \(2x^2 + x = x(2x + 1)\). Нули трёхчлена: \(x = 0\) и \(x = -\dfrac{1}{2}\). Ветви параболы \(y = 2x^2 + x\) направлены вверх, поэтому ниже оси \(x\) она расположена между своими нулями. Неравенство строгое, поэтому сами нули в ответ не входят: \(-\dfrac{1}{2} < x < 0\).

Ответ: 1) \((-\infty;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\); 2) решений нет; 3) \(\left(-\dfrac{1}{2};\ 0\right)\).

По формуле \(n\)-го члена арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + d(n - 1)\) при \(n = 16\) получаем \[a_{16} = a_1 + 15d.\] Подставим известные значения: \(40 = -5 + 15d\), откуда \(15d = 45\) и \(d = 3\).

Ответ: \(d = 3\).

Известны первый и двадцатый члены, поэтому воспользуемся формулой суммы \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\): \[S_{20} = \frac{0{,}7 + (-5{,}3)}{2} \cdot 20 = \frac{-4{,}6}{2} \cdot 20 = -2{,}3 \cdot 20 = -46.\]

Ответ: \(S_{20} = -46\).

По формуле \(n\)-го члена геометрической прогрессии \(b_n = b_1 q^{n-1}\) при \(n = 5\) имеем \(b_5 = b_1 q^4\). Так как \(q^4 = (-3)^4 = 81\), то \(324 = 81 b_1\), откуда \(b_1 = 4\).

Ответ: \(b_1 = 4\).

Знаменатель прогрессии отличен от единицы, поэтому применима формула \(S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\): \[\begin{aligned} &S_4 = \frac{5\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^4\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{5\left(1 - \frac{1}{16}\right)}{\frac{1}{2}} = {} \\ &= \frac{75}{16} \cdot 2 = \frac{75}{8} = 9\frac{3}{8}. \end{aligned}\]

Ответ: \(S_4 = \dfrac{75}{8} = 9\dfrac{3}{8}\).

При \(x \leqslant 2\) график — часть параболы \(y = x^2 - 2x\), ветви которой направлены вверх. Координаты вершины: \[x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1, \qquad y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1.\] Вершина — точка \((1;\ -1)\). Нули параболы найдём из уравнения \(x^2 - 2x = 0\), то есть \(x(x - 2) = 0\): это числа 0 и 2. При \(x = 2\) парабола даёт значение 0.

При \(x > 2\) график — луч прямой \(y = x - 2\), выходящий из точки \((2;\ 0)\) и проходящий через точку \((4;\ 2)\). В точке \(x = 2\) значения обоих кусков равны нулю, поэтому график не разрывается.

Построим график функции.

1) График лежит выше оси \(x\) при \(x < 0\) и при \(x > 2\), а ниже оси \(x\) — при \(0 < x < 2\). Значит, \(y > 0\) на промежутках \((-\infty;\ 0)\) и \((2;\ +\infty)\), а \(y < 0\) на промежутке \((0;\ 2)\).

2) До вершины параболы график опускается, после неё — поднимается, и луч также поднимается. Функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 1]\) и возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\).

3) Число 1 удовлетворяет условию \(x \leqslant 2\), поэтому значение вычисляем по первой формуле: \(y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1\).

4) Уравнение \(y(x) = 3\) решим на каждом промежутке отдельно.

При \(x \leqslant 2\) получаем \(x^2 - 2x = 3\), то есть \(x^2 - 2x - 3 = 0\). По теореме Виета корни равны \(-1\) и 3. Условию \(x \leqslant 2\) удовлетворяет только \(x = -1\).

При \(x > 2\) получаем \(x - 2 = 3\), откуда \(x = 5\); это значение условию \(x > 2\) удовлетворяет.

Ответ: 1) \(y > 0\) при \(x < 0\) и при \(x > 2\), \(y < 0\) при \(0 < x < 2\); 2) функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 1]\) и возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\); 3) \(y(1) = -1\); 4) \(x = -1\) и \(x = 5\).

Параболу с вершиной в точке \((m;\ n)\) задаёт формула \(y = a(x - m)^2 + n\). Так как вершина — точка \((2;\ -3)\), то \[y = a(x - 2)^2 - 3.\] Парабола проходит через точку \((3;\ -1)\), поэтому при \(x = 3\) значение функции равно \(-1\): \[-1 = a(3 - 2)^2 - 3, \qquad a - 3 = -1, \qquad a = 2.\] Значит, \(y = 2(x - 2)^2 - 3\). Раскроем скобки: \[y = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5.\]

Ответ: \(y = 2x^2 - 8x + 5\).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби — отличным от нуля: \[\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 5} \geqslant 0, \qquad x \ne -5.\] Разложим числитель на множители. Корни трёхчлена \(x^2 - 3x + 2\) по теореме Виета равны 1 и 2, поэтому \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\).

Знак дроби \(\dfrac{(x - 1)(x - 2)}{x + 5}\) совпадает со знаком произведения \((x - 1)(x - 2)(x + 5)\). Его нули: \(-5\), 1 и 2. На крайнем справа промежутке \((2;\ +\infty)\) все три множителя положительны, значит, произведение положительно; при переходе через каждый нуль знак меняется: на промежутке \((1;\ 2)\) — минус, на промежутке \((-5;\ 1)\) — плюс, на промежутке \((-\infty;\ -5)\) — минус.

Подкоренное выражение неотрицательно при \(-5 < x \leqslant 1\) и при \(x \geqslant 2\); число \(-5\) исключено, так как в нём знаменатель обращается в нуль.

Ответ: \((-5;\ 1] \cup [2;\ +\infty)\).

Решением системы служат те корни уравнения, которые удовлетворяют неравенству.

Корни уравнения \(x^2 - 8x + 15 = 0\) по теореме Виета равны 3 и 5 (их сумма 8, произведение 15).

Решим неравенство \(x^2 - 5x + 4 > 0\). Корни трёхчлена \(x^2 - 5x + 4\) равны 1 и 4, ветви параболы направлены вверх, поэтому выше оси \(x\) парабола расположена вне отрезка между корнями: \(x < 1\) или \(x > 4\).

Число 3 этому условию не удовлетворяет: \(3^2 - 5 \cdot 3 + 4 = 9 - 15 + 4 = -2 < 0\). Число 5 удовлетворяет, так как \(5 > 4\).

Ответ: \(x = 5\).

Числа 15 и \(-1\) станут первым и пятым членами прогрессии: \(a_1 = 15\), \(a_5 = -1\). По формуле \(n\)-го члена \(a_5 = a_1 + 4d\), поэтому \[-1 = 15 + 4d, \qquad 4d = -16, \qquad d = -4.\] Вставленные числа — второй, третий и четвёртый члены прогрессии: \[a_2 = 15 - 4 = 11, \qquad a_3 = 11 - 4 = 7, \qquad a_4 = 7 - 4 = 3.\] Проверка: \(3 - 4 = -1\) — пятый член равен данному числу.

Ответ: 11; 7; 3.

От одиннадцатого члена до двадцать пятого \(25 - 11 = 14\) шагов, поэтому \(a_{25} = a_{11} + 14d\): \[8 = 1 + 14d, \qquad 14d = 7, \qquad d = 0{,}5.\] Первый член найдём обратным ходом: \(a_1 = a_{11} - 10d = 1 - 10 \cdot 0{,}5 = -4\).

Теперь вычислим сумму: \[S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \frac{-4 + 8}{2} \cdot 25 = 2 \cdot 25 = 50.\]

Ответ: \(S_{25} = 50\).

От пятого члена до девятого четыре шага, поэтому \(b_9 = b_5 q^4\): \[q^4 = \frac{b_9}{b_5} = \frac{32}{8} = 4.\] Так как \(q^4 = (q^2)^2\) и \(q^2 \geqslant 0\), то \(q^2 = 2\), откуда \(q = \sqrt{2}\) или \(q = -\sqrt{2}\). Оба значения годятся: условию отвечают две прогрессии.

Ответ: \(q = \sqrt{2}\) или \(q = -\sqrt{2}\).

Геометрическая прогрессия, знаменатель которой по модулю меньше единицы, называется бесконечно убывающей, и сумма всех её членов находится по формуле \(S = \dfrac{b_1}{1 - q}\). Здесь \(\left|\dfrac{2}{3}\right| < 1\), поэтому формула применима: \[S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{3}} = 3\sqrt{3}.\]

Ответ: \(S = 3\sqrt{3}\).

При \(x \geqslant 0\) выполняется равенство \(|x| = x\), и функция принимает вид \(y = -\dfrac{x^2}{2} + x + 4\). Её график — парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины: \[x_0 = -\frac{1}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 1, \qquad y_0 = -\frac{1}{2} + 1 + 4 = 4{,}5.\] Нули найдём из уравнения \(-\dfrac{x^2}{2} + x + 4 = 0\), то есть \(x^2 - 2x - 8 = 0\). По теореме Виета его корни равны 4 и \(-2\); условию \(x \geqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 4\). При \(x = 0\) значение функции равно 4.

При замене \(x\) на \(-x\) значение функции не меняется, так как \((-x)^2 = x^2\) и \(|-x| = |x|\). Значит, функция чётная и её график симметричен относительно оси \(y\): левая часть графика получается из правой зеркальным отражением. Вершина левой дуги — точка \((-1;\ 4{,}5)\), нуль — число \(-4\).

Построим график функции.

Ответ: график состоит из двух симметричных относительно оси \(y\) дуг парабол с вершинами \((-1;\ 4{,}5)\) и \((1;\ 4{,}5)\); в точке \((0;\ 4)\) дуги сходятся с изломом, ось \(x\) график пересекает в точках \(-4\) и 4.

На рисунке ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке \((-1;\ 2)\), а ось \(x\) график пересекает в точках \((-2;\ 0)\) и \((0;\ 0)\).

Параболу с вершиной \((m;\ n)\) задаёт формула \(y = a(x - m)^2 + n\), поэтому \[y = a(x + 1)^2 + 2.\] График проходит через точку \((0;\ 0)\), значит, при \(x = 0\) значение функции равно нулю: \[0 = a(0 + 1)^2 + 2, \qquad a + 2 = 0, \qquad a = -2.\] Раскроем скобки: \[y = -2(x + 1)^2 + 2 = -2x^2 - 4x - 2 + 2 = -2x^2 - 4x.\] Проверка: при \(x = -2\) получаем \(-2 \cdot 4 + 8 = 0\) — парабола действительно проходит через точку \((-2;\ 0)\).

Ответ: \(y = -2x^2 - 4x\).

Так как \(x^2 = |x|^2\), неравенство можно записать в виде \(|x|^2 - 2|x| > 3\). Обозначим \(|x| = t\), где \(t \geqslant 0\); тогда \[t^2 - 2t - 3 > 0.\] Корни трёхчлена \(t^2 - 2t - 3\) по теореме Виета равны 3 и \(-1\), ветви параболы направлены вверх, поэтому выше оси она расположена при \(t < -1\) и при \(t > 3\). Условию \(t \geqslant 0\) удовлетворяет только \(t > 3\).

Возвращаясь к переменной \(x\), получаем \(|x| > 3\), то есть расстояние от точки \(x\) до начала отсчёта больше 3: \(x < -3\) или \(x > 3\).

Ответ: \((-\infty;\ -3) \cup (3;\ +\infty)\).

Запишем формулу \(n\)-го члена прогрессии: \[a_n = a_1 + d(n - 1) = 12 - 2(n - 1) = 14 - 2n.\] Тогда \(a_{10} = 14 - 20 = -6\) и \(a_{24} = 14 - 48 = -34\).

Члены с десятого по двадцать четвёртый сами образуют арифметическую прогрессию с той же разностью \(d = -2\); их число равно \(24 - 10 + 1 = 15\), первый из них \(a_{10} = -6\), последний \(a_{24} = -34\). Значит, искомая сумма равна \[S = \frac{a_{10} + a_{24}}{2} \cdot 15 = \frac{-6 + (-34)}{2} \cdot 15 = -20 \cdot 15 = -300.\]

Ответ: \(-300\).

Крайние члены прогрессии — \(b_1\) и \(b_4\), средние — \(b_2\) и \(b_3\). По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\), \(b_3 = b_1q^2\), \(b_4 = b_1q^3\), поэтому условие задачи даёт систему \[\begin{cases} b_1 + b_1q^3 = 390, \\ b_1q + b_1q^2 = 120 \end{cases}\] то есть \[\begin{cases} b_1(1 + q^3) = 390, \\ b_1q(1 + q) = 120. \end{cases}\] Все члены геометрической прогрессии отличны от нуля, значит, \(b_1 \ne 0\) и \(q \ne 0\). Кроме того, \(q \ne -1\): при \(q = -1\) сумма средних членов равнялась бы нулю, а не 120.

По формуле суммы кубов \(1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)\). Разделив первое уравнение на второе, получим \[\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{390}{120}, \qquad \frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{13}{4}.\] Отсюда \(4q^2 - 4q + 4 = 13q\), то есть \(4q^2 - 17q + 4 = 0\). Дискриминант \(D = 289 - 64 = 225\), и \[q = \frac{17 \pm 15}{8}: \qquad q_1 = 4, \qquad q_2 = \frac{1}{4}.\] При \(q = \dfrac{1}{4}\) из второго уравнения \(b_1 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5}{4} = 120\), откуда \(b_1 = 384\), и прогрессия 384; 96; 24; 6 убывает — условию она не отвечает.

При \(q = 4\) из второго уравнения \(b_1 \cdot 4 \cdot 5 = 120\), откуда \(b_1 = 6\). Прогрессия: 6; 24; 96; 384 — она возрастающая.

Проверка: \(6 + 384 = 390\) и \(24 + 96 = 120\).

Ответ: 6; 24; 96; 384.

Абсциссы общих точек параболы и прямой — корни уравнения \[x^2 + x - 2 = kx - 3, \qquad x^2 + (1 - k)x + 1 = 0.\] Общих точек нет тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение не имеет корней, то есть когда его дискриминант отрицателен: \[D = (1 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (1 - k)^2 - 4 < 0.\] Раскроем скобки: \(k^2 - 2k + 1 - 4 < 0\), то есть \(k^2 - 2k - 3 < 0\). Корни трёхчлена \(k^2 - 2k - 3\) по теореме Виета равны 3 и \(-1\); ветви параболы направлены вверх, поэтому ниже оси она расположена между корнями: \(-1 < k < 3\).

Ответ: при \(-1 < k < 3\).