Проверочная работа. 7 класс. вариант 2 на страницах 157-159, ГДЗ по алгебре за 7 класс к сборнику задач и упражнений Ткачевой

Первым выполняется действие в скобках; приведём слагаемые к общему знаменателю 12: \[-1\frac{1}{3} + \frac{3}{4} = -\frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{-16 + 9}{12} = -\frac{7}{12}.\] Деление на дробь заменяем умножением на дробь, обратную ей: \[0{,}14 : \left(-\frac{7}{12}\right) = \frac{14}{100} \cdot \left(-\frac{12}{7}\right) = -\frac{2 \cdot 12}{100} = -0{,}24.\]

Ответ: \(-0{,}24\).

Стандартный вид числа — это его запись в виде \(a \cdot 10^n\), где \(1 \leqslant a < 10\), а \(n\) — целое число. Чтобы получить множитель \(a\), перенесём в числе 23 400 запятую на четыре знака влево: получится \(2{,}34\) — число, которое меньше данного в \(10^4\) раз. Значит, вторым множителем надо взять \(10^4\): \[23\,400 = 2{,}34 \cdot 10^4.\]

Ответ: \(2{,}34 \cdot 10^4\).

Сначала упростим выражение. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают: \[6x^6y^5 : \left(-0{,}3x^2y^5\right) = \frac{6}{-0{,}3} \cdot x^{6 - 2} \cdot y^{5 - 5} = -20x^4.\] Значение выражения от \(y\) не зависит. При \(x = -1\) получаем \(-20 \cdot (-1)^4 = -20\).

Ответ: \(-20\).

1) Выражения \(3 - y\) и \(y - 3\) противоположны: \(3 - y = -(y - 3)\). Поэтому \(-5(3 - y) = 5(y - 3)\), и у обоих слагаемых появляется общий множитель \(y - 3\): \[2x(y - 3) - 5(3 - y) = 2x(y - 3) + 5(y - 3) = (y - 3)(2x + 5).\]

2) Вынесем общий множитель \(6ab\), а разность в скобках разложим по формуле разности квадратов: \[6ab^3 - 24ab = 6ab\left(b^2 - 4\right) = 6ab(b - 2)(b + 2).\]

Ответ: 1) \((y - 3)(2x + 5)\); 2) \(6ab(b - 2)(b + 2)\).

Применим формулу квадрата разности: \[(0{,}2n - 5m)^2 = (0{,}2n)^2 - 2 \cdot 0{,}2n \cdot 5m + (5m)^2 = 0{,}04n^2 - 2mn + 25m^2.\]

Ответ: \(0{,}04n^2 - 2mn + 25m^2\).

1) Приведём дроби в левой части к общему знаменателю 24: \[\frac{4y - 3y}{24} = 3, \\ \frac{y}{24} = 3, \\ y = 72.\]

2) Раскроем скобки в правой части: \(\frac{1}{2}(10 - 14x) = 5 - 7x\). Уравнение принимает вид \[5 - 7x = 5 - 7x.\] Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: \[-7x + 7x = 5 - 5, \\ 0 \cdot x = 0.\] Это равенство верно при любом значении \(x\), значит, корнем уравнения является любое число.

Ответ: 1) 72; 2) любое число.

Соседние чётные числа отличаются друг от друга на 2. Пусть меньшее из трёх последовательных чётных чисел равно \(x\), тогда два других равны \(x + 2\) и \(x + 4\). Сумма этих чисел равна 288, поэтому \[x + (x + 2) + (x + 4) = 288.\] Приведём подобные слагаемые и решим уравнение: \[3x + 6 = 288, \\ 3x = 282, \\ x = 94.\] Число 94 чётное, значит, искомые числа — 94, 96 и 98.

Проверка: \(94 + 96 + 98 = 288\).

Ответ: 94, 96, 98.

Умножим все члены первого уравнения на 3, а второго на \(-2\), чтобы коэффициенты при \(x\) стали противоположными числами: \[\begin{cases} 6x + 15y = 39, \\ -6x + 8y = 30. \end{cases}\] Сложив почленно левые и правые части, получим уравнение с одной переменной: \[23y = 69, \\ y = 3.\] Подставим \(y = 3\) в первое уравнение данной системы: \[2x + 5 \cdot 3 = 13, \\ 2x = -2, \\ x = -1.\]

Проверка: \(2 \cdot (-1) + 5 \cdot 3 = 13\); \(3 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 = -15\).

Ответ: \((-1;\ 3)\).

Функция линейная, её графиком служит прямая, а для построения прямой достаточно двух точек. Если \(x = 0\), то \(y = -2\); если \(x = 2\), то \(y = 1{,}5 \cdot 2 - 2 = 1\).

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & -2 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Проводим прямую через точки \((0;\ -2)\) и \((2;\ 1)\).

Ответ: графиком служит прямая, проходящая через точки \((0;\ -2)\) и \((2;\ 1)\).

У всех точек оси \(y\) абсцисса равна нулю. При \(x = 0\) получаем \(y = -5 \cdot 0 - 1 = -1\), значит, с осью \(y\) график пересекается в точке \((0;\ -1)\).

У всех точек оси \(x\) ордината равна нулю. Из уравнения \(-5x - 1 = 0\) находим \(-5x = 1\), \(x = -0{,}2\), значит, с осью \(x\) график пересекается в точке \((-0{,}2;\ 0)\).

Ответ: с осью \(x\) в точке \((-0{,}2;\ 0)\), с осью \(y\) в точке \((0;\ -1)\).

Числа 32 и 8 — степени двойки: \(32 = 2^5\) и \(8 = 2^3\). При возведении степени в степень показатели перемножают, при умножении степеней с одинаковыми основаниями складывают, при делении вычитают: \[\frac{32^2 \cdot 2^3}{8^4} = \frac{\left(2^5\right)^2 \cdot 2^3}{\left(2^3\right)^4} = \frac{2^{10} \cdot 2^3}{2^{12}} = 2^{13 - 12} = 2.\]

Ответ: 2.

Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} &\left(3a^3 - a^2\right)\left(5a^2 - a + 6\right) = {} \\ &= 15a^5 - 3a^4 + 18a^3 - 5a^4 + a^3 - 6a^2 = {} \\ &= 15a^5 - 8a^4 + 19a^3 - 6a^2. \end{aligned}\] Наибольшая из степеней входящих в этот многочлен одночленов — степень одночлена \(15a^5\), она равна 5.

Ответ: \(15a^5 - 8a^4 + 19a^3 - 6a^2\); степень многочлена равна 5.

1) \(c^4 = \left(c^2\right)^2\), поэтому выражение — разность квадратов выражений \(c^2\) и \(2a^2 - b\): \[c^4 - \left(2a^2 - b\right)^2 = \left(c^2 - 2a^2 + b\right)\left(c^2 + 2a^2 - b\right).\]

2) Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвёртым и вынесем из каждой группы общий множитель: \[3a^2 - ac - 6ab + 2bc = a(3a - c) - 2b(3a - c) = (3a - c)(a - 2b).\]

3) \(m^9 = \left(m^3\right)^3\) и \(n^{12} = \left(n^4\right)^3\), поэтому применима формула разности кубов: \[m^9 - n^{12} = \left(m^3 - n^4\right)\left(m^6 + m^3n^4 + n^8\right).\]

Ответ: 1) \(\left(c^2 - 2a^2 + b\right)\left(c^2 + 2a^2 - b\right)\); 2) \((3a - c)(a - 2b)\); 3) \(\left(m^3 - n^4\right)\left(m^6 + m^3n^4 + n^8\right)\).

1) Раскроем скобки в левой части: \((3 - x)(x + 6) = 3x + 18 - x^2 - 6x = -x^2 - 3x + 18\).

В правой части раскроем квадрат разности: \(-(x - 4)^2 = -x^2 + 8x - 16\).

Уравнение принимает вид \[-x^2 - 3x + 18 = -x^2 + 8x - 16.\] В обеих частях есть слагаемое \(-x^2\); перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: \[-3x - 8x = -16 - 18, \\ -11x = -34, \\ x = 3\frac{1}{11}.\]

2) Модули двух чисел равны, когда сами числа равны или противоположны. Значит, \(x - 7 = 4 - x\) или \(x - 7 = -(4 - x)\).

Из первого уравнения \(2x = 11\), \(x = 5{,}5\). Второе уравнение принимает вид \(x - 7 = x - 4\), то есть \(0 \cdot x = 3\), и корней не имеет.

Ответ: 1) \(3\frac{1}{11}\); 2) \(5{,}5\).

Модуль числа равен 7, когда само число равно 7 или \(-7\), поэтому первое уравнение системы распадается на два случая.

Если \(x + y = 7\), получаем систему \[\begin{cases} x + y = 7, \\ 4x - y = -3. \end{cases}\] Сложив уравнения почленно, находим \(5x = 4\), \(x = 0{,}8\); тогда \(y = 7 - 0{,}8 = 6{,}2\).

Если \(x + y = -7\), получаем систему \[\begin{cases} x + y = -7, \\ 4x - y = -3. \end{cases}\] Сложив уравнения почленно, находим \(5x = -10\), \(x = -2\); тогда \(y = -7 + 2 = -5\).

Проверка: \(|0{,}8 + 6{,}2| = 7\) и \(4 \cdot 0{,}8 - 6{,}2 = -3\); \(|-2 - 5| = 7\) и \(4 \cdot (-2) + 5 = -3\).

Ответ: \((0{,}8;\ 6{,}2)\) и \((-2;\ -5)\).

Дано:
230 т — урожай с двух участков в первый год
на первом участке урожай вырос на 10 %
на втором участке урожай вырос на 15 %
258 т — общий урожай на следующий год

Найти: урожай с каждого участка в первый год.

Решение:

Пусть в первый год с первого участка собрали \(x\) т овощей, а со второго \(y\) т. Вместе это 230 т, поэтому \(x + y = 230\).

Увеличение на 10 % означает, что новый урожай первого участка составляет \(100\,\% + 10\,\% = 110\,\%\) прежнего, то есть равен \(1{,}1x\) т; увеличение на 15 % даёт урожай второго участка \(1{,}15y\) т. Вместе получилось 258 т, поэтому \(1{,}1x + 1{,}15y = 258\). Получается система \[\begin{cases} x + y = 230, \\ 1{,}1x + 1{,}15y = 258. \end{cases}\] Выразим из первого уравнения \(y = 230 - x\) и подставим во второе: \[1{,}1x + 1{,}15(230 - x) = 258, \\ 1{,}1x + 264{,}5 - 1{,}15x = 258, \\ -0{,}05x = -6{,}5, \\ x = 130.\] Тогда \(y = 230 - 130 = 100\).

Проверка: \(1{,}1 \cdot 130 + 1{,}15 \cdot 100 = 143 + 115 = 258\) (т).

Ответ: с первого участка 130 т, со второго участка 100 т.

Графики двух линейных функций параллельны тогда, когда их угловые коэффициенты равны. У функции \(y = -2x + 5\) угловой коэффициент равен \(-2\), поэтому искомая функция задаётся формулой \(y = -2x + b\).

График проходит через точку \((1;\ -4)\), значит, при \(x = 1\) значение функции равно \(-4\): \[-4 = -2 \cdot 1 + b, \\ b = -4 + 2, \\ b = -2.\]

Ответ: \(y = -2x - 2\).

Дано:
цена повысилась на 20 %
затем цена снизилась на 10 %

Найти: как изменилась цена по сравнению с первоначальной.

Решение:

Пусть первоначальная цена изделия равна \(a\) р. Повышение на 20 % означает, что новая цена составляет \(100\,\% + 20\,\% = 120\,\%\) прежней, то есть равна \(1{,}2a\) р.

Снижение на 10 % означает, что цена стала составлять \(100\,\% - 10\,\% = 90\,\%\) от \(1{,}2a\), то есть равна \(1{,}2a \cdot 0{,}9 = 1{,}08a\) (р.).

Окончательная цена составляет 108 % первоначальной, значит, она больше первоначальной на \(108\,\% - 100\,\% = 8\,\%\).

Ответ: цена повысилась на 8 %.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на нечётных местах (считая справа), и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.

Пусть приписана цифра \(c\). В полученном числе на нечётных местах справа стоят цифры \(c\), 1, 4, 2, а на чётных местах — 0, 7, 2. Суммы этих цифр равны \(c + 1 + 4 + 2 = c + 7\) и \(0 + 7 + 2 = 9\), а их разность равна \[(c + 7) - 9 = c - 2.\] Цифра \(c\) принимает значения от 0 до 9, поэтому разность \(c - 2\) заключена между \(-2\) и 7. Единственное число, делящееся на 11, в этих границах — нуль, и получается он при \(c = 2\).

Проверка: для числа 2 247 102 суммы равны \(2 + 1 + 4 + 2 = 9\) и \(0 + 7 + 2 = 9\), их разность равна нулю и делится на 11.

Ответ: 2.

В числителе при возведении степени в степень показатели перемножаются: \[\left(b^2\right)^{3m + 1} \cdot c^{n - 2} = b^{6m + 2}c^{n - 2}.\] В знаменателе в третью степень возводится каждый множитель: \[\left(b^{2m} \cdot c^{2n - 1}\right)^3 = b^{6m}c^{6n - 3}.\] При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают: \[\frac{b^{6m + 2}c^{n - 2}}{b^{6m}c^{6n - 3}} = b^{6m + 2 - 6m}c^{(n - 2) - (6n - 3)} = b^2c^{1 - 5n} = \frac{b^2}{c^{5n - 1}}.\]

Ответ: \(\frac{b^2}{c^{5n - 1}}\).

Первые два члена образуют разность квадратов выражений \(4x\) и \(3y\), и после её разложения у обеих групп появляется общий множитель \(4x - 3y\): \[\begin{aligned} &16x^2 - 9y^2 + 4x - 3y = {} \\ &= (4x - 3y)(4x + 3y) + (4x - 3y) = {} \\ &= (4x - 3y)(4x + 3y + 1). \end{aligned}\]

Ответ: \((4x - 3y)(4x + 3y + 1)\).

Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а остальные — в правую: \[3ax + x = a + 10, \\ (3a + 1)x = a + 10.\] Получилось линейное уравнение с коэффициентом \(3a + 1\) при переменной.

Если \(3a + 1 = 0\), то есть при \(a = -\frac{1}{3}\), уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 9\frac{2}{3}\); ни при каком \(x\) это равенство не верно, значит, корней нет.

Если \(a \ne -\frac{1}{3}\), то обе части можно разделить на \(3a + 1\), и уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a + 10}{3a + 1}\).

Ответ: при \(a = -\frac{1}{3}\) корней нет; при \(a \ne -\frac{1}{3}\) единственный корень \(x = \frac{a + 10}{3a + 1}\).

Выразим из второго уравнения \(y = 1 - x\) и подставим в первое: \[(9m - 2)x + 2(1 - x) = 6m - 2, \\ (9m - 4)x = 6m - 4.\] Система не имеет решений, когда это уравнение не имеет корней, то есть когда коэффициент при \(x\) равен нулю, а правая часть нулю не равна.

Из условия \(9m - 4 = 0\) находим \(m = \frac{4}{9}\). При таком \(m\) правая часть равна \(6 \cdot \frac{4}{9} - 4 = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3}\), то есть отлична от нуля, и уравнение действительно корней не имеет.

Ответ: при \(m = \frac{4}{9}\).

При \(x \leqslant 0\) значение функции постоянно и равно 2: это горизонтальный луч, идущий из точки \((0;\ 2)\) влево.

При \(x > 0\) выражение \(x + 2\) положительно, поэтому \(|x + 2| = x + 2\), и графиком служит луч прямой \(y = x + 2\), выходящий из точки \((0;\ 2)\) вправо вверх через точку \((2;\ 4)\). В точке \((0;\ 2)\) куски графика сходятся, разрыва нет.

Ответ: график состоит из горизонтального луча \(y = 2\) при \(x \leqslant 0\) и луча прямой \(y = x + 2\) при \(x \geqslant 0\), выходящего из точки \((0;\ 2)\) вправо вверх.