Страница 153 номер 6.3.46, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти четыре числа, составляющие возрастающую геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 140, а сумма средних членов равна 60.
Пусть \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель; четыре искомых числа — это \(b_1\), \(b_1q\), \(b_1q^2\), \(b_1q^3\), крайние из них — первый и четвёртый, средние — второй и третий, поэтому \[b_1\left(1 + q^3\right) = 140, \qquad b_1q(1 + q) = 60.\]
Разложим сумму кубов на множители: \(1 + q^3 = (1 + q)\left(1 - q + q^2\right)\), и первое равенство примет вид \(b_1(1 + q)\left(1 - q + q^2\right) = 140\).
Произведение \(b_1q(1 + q)\) равно 60, поэтому \(q \ne 0\) и \(b_1(1 + q) \ne 0\). Разделим первое равенство на второе: \[\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{140}{60} = \frac{7}{3},\] \[3\left(1 - q + q^2\right) = 7q, \qquad 3q^2 - 10q + 3 = 0.\]
Дискриминант \(D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64\), поэтому \(q = \frac{10 \pm 8}{6}\), то есть \(q = 3\) или \(q = \frac{1}{3}\).
Если \(q = 3\), то \(b_1 \cdot 3 \cdot 4 = 60\) и \(b_1 = 5\); прогрессия \(5\); \(15\); \(45\); \(135\) возрастает, условию она отвечает.
Если \(q = \frac{1}{3}\), то \(b_1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = 60\), то есть \(\frac{4b_1}{9} = 60\) и \(b_1 = 135\); прогрессия \(135\); \(45\); \(15\); \(5\) убывает, и условию «возрастающая» она не отвечает.
Проверка: \(5 + 135 = 140\) — сумма крайних членов, \(15 + 45 = 60\) — сумма средних членов.
Ответ: \(5\); \(15\); \(45\); \(135\).
Найти четыре числа, составляющие возрастающую геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 140, а сумма средних членов равна 60.
Пусть \(b_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — её знаменатель; тогда четыре искомых числа — это \(b_1\), \(b_1q\), \(b_1q^2\), \(b_1q^3\). Крайние члены — первый и четвёртый, средние — второй и третий, поэтому \[b_1\left(1 + q^3\right) = 140, \qquad b_1q(1 + q) = 60.\]
Разложим сумму кубов на множители: \(1 + q^3 = (1 + q)\left(1 - q + q^2\right)\), и первое равенство примет вид \(b_1(1 + q)\left(1 - q + q^2\right) = 140\).
Произведение \(b_1q(1 + q)\) равно 60, поэтому \(q \ne 0\) и \(b_1(1 + q) \ne 0\). Разделим первое равенство на второе: \[\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{140}{60} = \frac{7}{3},\] \[3\left(1 - q + q^2\right) = 7q, \qquad 3q^2 - 10q + 3 = 0.\]
Дискриминант \(D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64\), поэтому \(q = \frac{10 \pm 8}{6}\), то есть \(q = 3\) или \(q = \frac{1}{3}\).
Если \(q = 3\), то \(b_1 \cdot 3 \cdot 4 = 60\) и \(b_1 = 5\); прогрессия \(5\); \(15\); \(45\); \(135\) возрастает, условию она отвечает.
Если \(q = \frac{1}{3}\), то \(b_1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = 60\), то есть \(\frac{4b_1}{9} = 60\) и \(b_1 = 135\); прогрессия \(135\); \(45\); \(15\); \(5\) убывает, и условию «возрастающая» она не отвечает.
Проверка: \(5 + 135 = 140\) — сумма крайних членов, \(15 + 45 = 60\) — сумма средних членов.
Ответ: \(5\); \(15\); \(45\); \(135\).
