Страница 154 номер 6.3.52, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Обозначим четыре записанных числа \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\); крайние из них — первое и четвёртое, средние — второе и третье, поэтому \[x_1 + x_4 = 14, \qquad x_2 + x_3 = 12.\]
Первые три числа составляют арифметическую прогрессию, поэтому её средний член равен полусумме соседних: \(2x_2 = x_1 + x_3\). Последние три числа составляют геометрическую прогрессию, поэтому квадрат её среднего члена равен произведению крайних: \(x_3^2 = x_2x_4\).
Из равенства \(x_2 + x_3 = 12\) находим \(x_3 = 12 - x_2\); подставим это в равенство \(2x_2 = x_1 + x_3\): \[2x_2 = x_1 + 12 - x_2, \qquad x_1 = 3x_2 - 12.\]
Тогда \(x_4 = 14 - x_1 = 14 - \left(3x_2 - 12\right) = 26 - 3x_2\). Подставим найденные выражения в равенство \(x_3^2 = x_2x_4\): \[\left(12 - x_2\right)^2 = x_2\left(26 - 3x_2\right),\] \[144 - 24x_2 + x_2^2 = 26x_2 - 3x_2^2,\] \[4x_2^2 - 50x_2 + 144 = 0, \qquad 2x_2^2 - 25x_2 + 72 = 0.\]
Дискриминант \(D = 625 - 4 \cdot 2 \cdot 72 = 49\), поэтому \(x_2 = \frac{25 \pm 7}{4}\), то есть \(x_2 = 8\) или \(x_2 = 4{,}5\).
Если \(x_2 = 8\), то \(x_3 = 12 - 8 = 4\), \(x_1 = 3 \cdot 8 - 12 = 12\), \(x_4 = 26 - 24 = 2\). Последовательность \(12\); \(8\); \(4\); \(2\): первые три числа — арифметическая прогрессия с разностью \(-4\), последние три — геометрическая прогрессия со знаменателем \(\frac{1}{2}\).
Если \(x_2 = 4{,}5\), то \(x_3 = 12 - 4{,}5 = 7{,}5\), \(x_1 = 3 \cdot 4{,}5 - 12 = 1{,}5\), \(x_4 = 26 - 13{,}5 = 12{,}5\). Последовательность \(1{,}5\); \(4{,}5\); \(7{,}5\); \(12{,}5\): первые три числа — арифметическая прогрессия с разностью 3, последние три — геометрическая прогрессия со знаменателем \(\frac{7{,}5}{4{,}5} = \frac{5}{3}\).
Обе последовательности дают в сумме крайних 14, а в сумме средних 12.
Ответ: \(12\); \(8\); \(4\); \(2\) или \(1{,}5\); \(4{,}5\); \(7{,}5\); \(12{,}5\).
Обозначим четыре записанных числа \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\). Крайние числа — первое и четвёртое, средние — второе и третье, поэтому \[x_1 + x_4 = 14, \qquad x_2 + x_3 = 12.\]
Первые три числа составляют арифметическую прогрессию, поэтому её средний член равен полусумме соседних: \(2x_2 = x_1 + x_3\). Последние три числа составляют геометрическую прогрессию, поэтому квадрат её среднего члена равен произведению крайних: \(x_3^2 = x_2x_4\).
Из равенства \(x_2 + x_3 = 12\) находим \(x_3 = 12 - x_2\). Подставим это в равенство \(2x_2 = x_1 + x_3\): \[2x_2 = x_1 + 12 - x_2, \qquad x_1 = 3x_2 - 12.\]
Тогда \(x_4 = 14 - x_1 = 14 - \left(3x_2 - 12\right) = 26 - 3x_2\). Подставим найденные выражения в равенство \(x_3^2 = x_2x_4\): \[\left(12 - x_2\right)^2 = x_2\left(26 - 3x_2\right),\] \[144 - 24x_2 + x_2^2 = 26x_2 - 3x_2^2,\] \[4x_2^2 - 50x_2 + 144 = 0, \qquad 2x_2^2 - 25x_2 + 72 = 0.\]
Дискриминант \(D = 625 - 4 \cdot 2 \cdot 72 = 49\), поэтому \(x_2 = \frac{25 \pm 7}{4}\), то есть \(x_2 = 8\) или \(x_2 = 4{,}5\).
Если \(x_2 = 8\), то \(x_3 = 12 - 8 = 4\), \(x_1 = 3 \cdot 8 - 12 = 12\), \(x_4 = 26 - 24 = 2\). Последовательность \(12\); \(8\); \(4\); \(2\): первые три числа — арифметическая прогрессия с разностью \(-4\), последние три — геометрическая прогрессия со знаменателем \(\frac{1}{2}\).
Если \(x_2 = 4{,}5\), то \(x_3 = 12 - 4{,}5 = 7{,}5\), \(x_1 = 3 \cdot 4{,}5 - 12 = 1{,}5\), \(x_4 = 26 - 13{,}5 = 12{,}5\). Последовательность \(1{,}5\); \(4{,}5\); \(7{,}5\); \(12{,}5\): первые три числа — арифметическая прогрессия с разностью 3, последние три — геометрическая прогрессия со знаменателем \(\frac{7{,}5}{4{,}5} = \frac{5}{3}\).
Обе последовательности дают в сумме крайних 14, а в сумме средних 12.
Ответ: \(12\); \(8\); \(4\); \(2\) или \(1{,}5\); \(4{,}5\); \(7{,}5\); \(12{,}5\).
