Страница 152 номер 6.3.31, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

В каждом пункте знаменатель отличен от единицы, поэтому сумму первых \(n\) членов находим по формуле \[S_n = \frac{b_1\left(q^n - 1\right)}{q - 1}.\]

Число членов \(n\) — натуральное, и это часть ответа.

1) При \(b_1 = -4\) и \(q = \frac{1}{2}\) \[S_n = \frac{-4\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-4\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1\right)}{-\frac{1}{2}} = 8\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1\right).\]

Решаем уравнение \(8\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1\right) = -7\frac{3}{4}\): \[\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1 = -\frac{31}{4} : 8 = -\frac{31}{32},\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}.\]

Так как \(\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5\), то \(n = 5\). Число 5 натуральное — прогрессия содержит 5 членов.

2) При \(b_1 = 3\) и \(q = -\frac{1}{2}\) \[S_n = \frac{3\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{3\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right)}{-\frac{3}{2}} = -2\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right).\]

Решаем уравнение \(-2\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right) = 1\frac{31}{32}\): \[\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1 = -\frac{63}{32} : 2 = -\frac{63}{64},\qquad \left(-\frac{1}{2}\right)^n = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}.\]

Полученное значение положительно, а степень отрицательного числа положительна только при чётном показателе (при нечётном она отрицательна), поэтому \(n\) чётно. При чётном показателе \(\left(-\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\), и из равенства \(\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6\) получаем \(n = 6\) — число натуральное и чётное, как и требовалось.

3) При \(b_1 = -24\) и \(q = -2\) \[S_n = \frac{-24\left((-2)^n - 1\right)}{-2 - 1} = \frac{-24\left((-2)^n - 1\right)}{-3} = 8\left((-2)^n - 1\right).\]

Решаем уравнение \(8\left((-2)^n - 1\right) = -264\): \[(-2)^n - 1 = -33,\qquad (-2)^n = -32.\]

Полученное значение отрицательно, а степень отрицательного числа отрицательна только при нечётном показателе (при чётном она положительна), поэтому \(n\) нечётно. При нечётном показателе \((-2)^n = -2^n\), и равенство \((-2)^n = -32\) принимает вид \(2^n = 32 = 2^5\), откуда \(n = 5\) — число натуральное и нечётное, как и требовалось.

4) При \(b_1 = -11\) и \(q = 2\) \[S_n = \frac{-11\left(2^n - 1\right)}{2 - 1} = -11\left(2^n - 1\right).\]

Решаем уравнение \(-11\left(2^n - 1\right) = -1397\): \[2^n - 1 = 127,\qquad 2^n = 128.\]

Так как \(128 = 2^7\), то \(n = 7\). Число 7 натуральное — прогрессия содержит 7 членов.

Ответ: 1) 5; 2) 6; 3) 5; 4) 7.