Страница 153 номер 6.3.42, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В геометрической прогрессии чётное число членов. Сумма всех её членов в 4 раза больше суммы членов, стоящих на нечётных местах. Найти знаменатель прогрессии.
Пусть в прогрессии \(2n\) членов, \(S_{\text{неч}}\) — сумма членов, стоящих на нечётных местах, \(S_{\text{чёт}}\) — сумма членов, стоящих на чётных местах.
Каждый член на чётном месте равен предыдущему, умноженному на знаменатель: \(b_2 = b_1q\), \(b_4 = b_3q\), …, \(b_{2n} = b_{2n-1}q\). Сложив эти равенства почленно, получим \[S_{\text{чёт}} = qS_{\text{неч}}.\]
Сумма всех членов прогрессии \(S = S_{\text{неч}} + S_{\text{чёт}} = S_{\text{неч}}(1 + q)\), а по условию \(S = 4S_{\text{неч}}\), поэтому \[S_{\text{неч}}(1 + q) = 4S_{\text{неч}}.\]
Сумма \(S_{\text{неч}} = b_1\left(1 + q^2 + q^4 + \ldots + q^{2n-2}\right)\) отлична от нуля: первый член прогрессии не равен нулю, знаменатель тоже, а в скобках стоит сумма положительных чисел (все показатели степеней чётные). Разделив обе части на \(S_{\text{неч}}\), получаем \(1 + q = 4\), откуда \(q = 3\).
Ответ: \(q = 3\).
В геометрической прогрессии чётное число членов. Сумма всех её членов в 4 раза больше суммы членов, стоящих на нечётных местах. Найти знаменатель прогрессии.
Пусть в прогрессии \(2n\) членов. Обозначим сумму членов, стоящих на нечётных местах, через \(S_{\text{неч}}\), а сумму членов, стоящих на чётных местах, — через \(S_{\text{чёт}}\).
Каждый член на чётном месте равен предыдущему, умноженному на знаменатель: \(b_2 = b_1q\), \(b_4 = b_3q\), …, \(b_{2n} = b_{2n-1}q\). Сложив эти равенства почленно, получим \[S_{\text{чёт}} = qS_{\text{неч}}.\]
Сумма всех членов прогрессии равна \(S = S_{\text{неч}} + S_{\text{чёт}} = S_{\text{неч}}(1 + q)\), а по условию \(S = 4S_{\text{неч}}\). Значит, \[S_{\text{неч}}(1 + q) = 4S_{\text{неч}}.\]
Сумма \(S_{\text{неч}} = b_1\left(1 + q^2 + q^4 + \ldots + q^{2n-2}\right)\) отлична от нуля: первый член прогрессии не равен нулю, знаменатель тоже, а в скобках стоит сумма положительных чисел (все показатели степеней чётные). Разделив обе части на \(S_{\text{неч}}\), получаем \(1 + q = 4\), откуда \(q = 3\).
Ответ: \(q = 3\).
