Страница 154 номер 6.3.50, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Обозначим три числа арифметической прогрессии через \(a - d\), \(a\), \(a + d\), где \(a\) — её средний член, \(d\) — разность. После увеличения последнего числа на 8 на доске оказались числа \(a - d\), \(a\), \(a + d + 8\), составляющие геометрическую прогрессию.
Сумма этих трёх чисел равна 26: \[(a - d) + a + (a + d + 8) = 26, \qquad 3a + 8 = 26, \qquad a = 6.\]
По свойству геометрической прогрессии \(a^2 = (a - d)(a + d + 8)\). Подставим \(a = 6\): \[36 = (6 - d)(14 + d),\] \[36 = 84 - 8d - d^2, \qquad d^2 + 8d - 48 = 0.\]
Дискриминант \(D = 64 + 4 \cdot 48 = 256\), поэтому \(d = \frac{-8 \pm 16}{2}\), то есть \(d = 4\) или \(d = -12\).
Если \(d = 4\), на доске была прогрессия \(2\); \(6\); \(10\), а после увеличения последнего числа на 8 получились числа \(2\); \(6\); \(18\) — геометрическая прогрессия со знаменателем 3 и суммой \(2 + 6 + 18 = 26\). Вася увеличил число 10.
Если \(d = -12\), на доске была прогрессия \(18\); \(6\); \(-6\), а после увеличения последнего числа на 8 получились числа \(18\); \(6\); \(2\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(\frac{1}{3}\) и суммой \(18 + 6 + 2 = 26\). Вася увеличил число \(-6\).
Ответ: Вася увеличил число 10 или число \(-6\).
Обозначим три числа арифметической прогрессии через \(a - d\), \(a\), \(a + d\), где \(a\) — её средний член, \(d\) — разность. После того как Вася увеличил последнее число на 8, на доске оказались числа \(a - d\), \(a\), \(a + d + 8\), составляющие геометрическую прогрессию.
Сумма этих трёх чисел равна 26: \[(a - d) + a + (a + d + 8) = 26, \qquad 3a + 8 = 26, \qquad a = 6.\]
По свойству геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению крайних: \(a^2 = (a - d)(a + d + 8)\). Подставим \(a = 6\): \[36 = (6 - d)(14 + d),\] \[36 = 84 - 8d - d^2, \qquad d^2 + 8d - 48 = 0.\]
Дискриминант \(D = 64 + 4 \cdot 48 = 256\), поэтому \(d = \frac{-8 \pm 16}{2}\), то есть \(d = 4\) или \(d = -12\).
Если \(d = 4\), на доске была прогрессия \(2\); \(6\); \(10\), а после увеличения последнего числа на 8 получились числа \(2\); \(6\); \(18\) — геометрическая прогрессия со знаменателем 3 и суммой \(2 + 6 + 18 = 26\). Вася увеличил число 10.
Если \(d = -12\), на доске была прогрессия \(18\); \(6\); \(-6\), а после увеличения последнего числа на 8 получились числа \(18\); \(6\); \(2\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(\frac{1}{3}\) и суммой \(18 + 6 + 2 = 26\). Вася увеличил число \(-6\).
Ответ: Вася увеличил число 10 или число \(-6\).
