Страница 86 номер 8.18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота призмы равна \(h\), а площадь боковой поверхности — \(S\). Найдите радиус основания цилиндра, описанного около данной призмы.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма
\(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = BC\)
\(h\) — высота призмы
\(S\) — площадь боковой поверхности призмы
цилиндр описан около призмы
Найти: \(r\) — радиус основания цилиндра.
Решение: Призма вписана в цилиндр, поэтому она прямая (её боковое ребро равно высоте \(h\)), а её основания вписаны в основания цилиндра: радиус \(r\) основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, поэтому центр \(O\) нижнего основания цилиндра — середина \(AB\) и \(r = \frac{AB}{2}\); \(O_1\) — центр верхнего основания.
Пусть \(AC = BC = b\), тогда \(AB = b\sqrt{2}\). Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, одна сторона которых — сторона основания, а другая равна \(h\), поэтому \(S = (AC + BC + AB) \cdot h = (2b + b\sqrt{2})h\). Отсюда \(b = \frac{S}{(2 + \sqrt{2})h}\).
\[\begin{aligned} &r = \frac{AB}{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2} = \frac{S\sqrt{2}}{2(2 + \sqrt{2})h} = {} \\ &= \frac{S}{2(\sqrt{2} + 1)h} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h}\).
