Страница 86 номер 8.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Площадь боковой поверхности призмы, основанием которой является ромб с углом \(\alpha\), равна \(S\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — призма
\(ABCD\) — ромб, \(\angle BAD = \alpha\)
\(S\) — площадь боковой поверхности призмы
цилиндр вписан в призму
Найти: \(S_{\text{бок}}\) цилиндра.
Решение: Цилиндр вписан в призму, то есть призма описана около цилиндра. Поэтому призма прямая, а её основания описаны около оснований цилиндра: окружность нижнего основания цилиндра с центром \(O\) вписана в ромб \(ABCD\), её радиус — радиус \(r\) основания цилиндра, \(O_1\) — центр верхнего основания. Основания цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы, поэтому высота цилиндра \(h\) равна высоте призмы, то есть боковому ребру \(AA_1\).
Пусть сторона ромба равна \(a\). Боковые грани прямой призмы — четыре равных прямоугольника со сторонами \(a\) и \(h\), поэтому \(S = 4ah\).
Пусть окружность основания цилиндра касается сторон \(AD\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(M\). Радиусы \(OK\) и \(OM\) перпендикулярны параллельным прямым \(AD\) и \(BC\), а через точку \(O\) в плоскости ромба проходит только одна прямая, перпендикулярная им; поэтому точки \(K\), \(O\), \(M\) лежат на одной прямой и \(KM\) — диаметр, перпендикулярный \(AD\) и \(BC\), то есть высота ромба: \(KM = 2r\).
\(S_{ABCD} = AD \cdot KM = 2ar\) и \(S_{ABCD} = AB \cdot AD \sin\angle BAD = a^2\sin\alpha\). Значит, \(2ar = a^2\sin\alpha\), откуда \(r = \frac{a\sin\alpha}{2}\).
\[\begin{aligned} &S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \frac{a\sin\alpha}{2} \cdot h = {} \\ &= \pi ah\sin\alpha = \pi \cdot \frac{S}{4} \cdot \sin\alpha = \frac{1}{4}\pi S\sin\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{1}{4}\pi S \sin \alpha\).
Площадь боковой поверхности призмы, основанием которой является ромб с углом \(\alpha\), равна \(S\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — призма
\(ABCD\) — ромб, \(\angle BAD = \alpha\)
\(S\) — площадь боковой поверхности призмы
цилиндр вписан в призму
Найти: \(S_{\text{бок}}\) цилиндра.
Решение: Цилиндр вписан в призму, то есть призма описана около цилиндра. Поэтому призма прямая, а её основания описаны около оснований цилиндра: окружность нижнего основания цилиндра с центром \(O\) вписана в ромб \(ABCD\), её радиус — радиус \(r\) основания цилиндра, \(O_1\) — центр верхнего основания. Основания цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы, поэтому высота цилиндра \(h\) равна высоте призмы, то есть боковому ребру \(AA_1\).
Пусть сторона ромба равна \(a\). Боковые грани прямой призмы — четыре равных прямоугольника со сторонами \(a\) и \(h\), поэтому \(S = 4ah\).
Пусть окружность основания цилиндра касается сторон \(AD\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(M\). Радиусы \(OK\) и \(OM\) перпендикулярны параллельным прямым \(AD\) и \(BC\), а через точку \(O\) в плоскости ромба проходит только одна прямая, перпендикулярная им; поэтому точки \(K\), \(O\), \(M\) лежат на одной прямой и \(KM\) — диаметр, перпендикулярный \(AD\) и \(BC\), то есть высота ромба: \(KM = 2r\).
Площадь ромба равна произведению стороны на высоту и произведению двух соседних сторон на синус угла между ними: \(S_{ABCD} = AD \cdot KM = 2ar\) и \(S_{ABCD} = AB \cdot AD \sin\angle BAD = a^2\sin\alpha\). Значит, \(2ar = a^2\sin\alpha\), откуда \(r = \frac{a\sin\alpha}{2}\).
\[\begin{aligned} &S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \frac{a\sin\alpha}{2} \cdot h = {} \\ &= \pi ah\sin\alpha = \pi \cdot \frac{S}{4} \cdot \sin\alpha = \frac{1}{4}\pi S\sin\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{1}{4}\pi S \sin \alpha\).
