Страница 86 номер 8.19, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма
\(AB = BC\), \(\angle BAC = \alpha\)
\(A_1B = m\) — диагональ грани \(AA_1B_1B\)
угол между прямой \(A_1B\) и плоскостью \(ABC\) равен \(\beta\)
цилиндр вписан в призму

Найти: \(S_{\text{бок}}\) цилиндра.

Решение: Основание призмы — равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\) и углом \(\alpha\) при основании; грань, проходящая через боковую сторону \(AB\), — \(AA_1B_1B\), её диагональ \(A_1B = m\) наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\).

Цилиндр вписан в призму, то есть призма описана около цилиндра. Поэтому призма прямая, а её основания описаны около оснований цилиндра: окружность нижнего основания цилиндра с центром \(O\) вписана в треугольник \(ABC\), её радиус — радиус \(r\) основания цилиндра, \(O_1\) — центр верхнего основания. Основания цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы, поэтому высота цилиндра \(h\) равна высоте призмы, то есть боковому ребру \(AA_1\).

Призма прямая, поэтому \(A_1A \perp ABC\) и прямая \(AB\) — проекция прямой \(A_1B\) на плоскость основания. Следовательно, угол \(A_1BA\) — угол между прямой \(A_1B\) и плоскостью основания: \(\angle A_1BA = \beta\). Из треугольника \(A_1AB\) (\(\angle A_1AB = 90^\circ\)): \[\begin{aligned} h &= AA_1 = m\sin\beta; \\ AB &= m\cos\beta. \end{aligned}\]

Проведём высоту \(BH\) треугольника \(ABC\). В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому центр \(O\) вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) лежит на \(BH\), а \(OH \perp AC\). Значит, \(H\) — точка касания окружности со стороной \(AC\) и \(r = OH\). Луч \(AO\) — биссектриса угла \(BAC\), поэтому \(\angle OAH = \frac{\alpha}{2}\).

Из треугольника \(ABH\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)): \(AH = AB\cos\alpha = m\cos\beta\cos\alpha\). Из треугольника \(AOH\) (\(\angle AHO = 90^\circ\)): \(r = OH = AH\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = m\cos\beta\cos\alpha\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\).

\[\begin{aligned} &S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot m\cos\beta\cos\alpha\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot m\sin\beta = {} \\ &= \pi m^2 \cdot 2\sin\beta\cos\beta \cdot \cos\alpha\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \pi m^2\sin 2\beta\cos\alpha\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\pi m^2 \sin 2\beta \cos \alpha \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\).