Страница 126 номер 13.43, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

В условии говорится о прямых; если же через точку провести три попарно перпендикулярные плоскости, касающиеся сферы, ответ получается другим — разберём оба случая.

Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра \(O\) до этой прямой равно радиусу \(r\). Действительно, касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому расстояние от \(O\) до касательной равно \(r\). Обратно, если основание перпендикуляра, опущенного из \(O\) на прямую, удалено от \(O\) на \(r\), то оно лежит на сфере, а остальные точки прямой удалены от \(O\) больше чем на \(r\) (наклонная длиннее перпендикуляра); прямая имеет со сферой только одну общую точку и потому является касательной к сфере.

Пусть через точку \(X\) проходят три попарно перпендикулярные прямые, касающиеся сферы. Введём систему координат с началом \(X\) и осями, направленными по этим прямым; пусть \(O(a; b; c)\). Основание перпендикуляра, опущенного из \(O\) на ось \(x\), — точка \((a; 0; 0)\), поэтому расстояние от \(O\) до оси \(x\) равно \(\sqrt{b^2 + c^2}\); так же расстояния от \(O\) до осей \(y\) и \(z\) равны \(\sqrt{a^2 + c^2}\) и \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Каждая ось касается сферы: \[\begin{cases} b^2 + c^2 = r^2, \\ a^2 + c^2 = r^2, \\ a^2 + b^2 = r^2. \end{cases}\]

Сложив эти равенства, получим \(2(a^2 + b^2 + c^2) = 3r^2\), то есть \(XO^2 = a^2 + b^2 + c^2 = \frac{3r^2}{2}\) и \(XO = \frac{r\sqrt{6}}{2}\).

Обратно, пусть \(XO = \frac{r\sqrt{6}}{2}\). Рассмотрим куб с ребром \(\frac{r}{\sqrt{2}}\), диагональ которого — отрезок \(XO\): диагональ такого куба равна \(\frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{3} = \frac{r\sqrt{6}}{2}\). Рёбра куба, выходящие из вершины \(X\), попарно перпендикулярны; в системе координат с началом \(X\) и осями по этим рёбрам \(O\left(\frac{r}{\sqrt{2}}; \frac{r}{\sqrt{2}}; \frac{r}{\sqrt{2}}\right)\), и расстояние от \(O\) до каждой оси равно \(\sqrt{\frac{r^2}{2} + \frac{r^2}{2}} = r\). Значит, через \(X\) проходят три попарно перпендикулярные прямые, касающиеся сферы, — оси \(x\), \(y\) и \(z\). Искомое ГМТ — сфера с центром \(O\) радиуса \(\frac{r\sqrt{6}}{2}\).

Если же через точку \(X\) провести три попарно перпендикулярные плоскости, касающиеся сферы, то любые две из них различны и имеют общую точку \(X\), поэтому пересекаются по прямой, проходящей через \(X\). Если каждая из двух пересекающихся плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, то прямая их пересечения перпендикулярна этой плоскости; поэтому каждая из трёх прямых попарного пересечения перпендикулярна плоскости, содержащей две другие, и эти прямые попарно перпендикулярны. В системе координат с началом \(X\) и осями по этим прямым данные плоскости — координатные. Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра сферы до неё равно радиусу, а расстояния от точки \(O(a; b; c)\) до координатных плоскостей равны \(|a|\), \(|b|\) и \(|c|\). Поэтому \(a^2 = b^2 = c^2 = r^2\) и \(XO = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = r\sqrt{3}\). Обратно, при \(XO = r\sqrt{3}\) плоскости граней куба с ребром \(r\) и диагональю \(XO\), проходящие через \(X\), попарно перпендикулярны, удалены от \(O\) на \(r\) и потому касаются сферы. В этом случае искомое ГМТ — сфера с центром \(O\) радиуса \(r\sqrt{3}\).

Ответ: сфера с центром \(O\) радиуса \(\frac{r\sqrt{6}}{2}\); для трёх попарно перпендикулярных касательных плоскостей — сфера с центром \(O\) радиуса \(r\sqrt{3}\).