Страница 134 номер 14.5, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 8 см, а диагональ боковой грани — 13 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.
Дано:
\(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) — правильная призма
\(AA_1 = 8\) см
\(BC_1 = 13\) см — диагональ боковой грани
шар описан около призмы
Найти: \(R\) — радиус шара.
Решение: Вершины призмы лежат на поверхности шара — сфере, описанной около призмы, и \(R = OA\), где \(O\) — центр шара. Правильная призма — прямая, а около её основания — правильного шестиугольника — можно описать окружность. Центр сферы, описанной около прямой призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы: точка \(O\) — середина отрезка \(O_1O_2\), где \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований \(ABCDEF\) и \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\). Отрезок \(O_1O_2\) параллелен боковым рёбрам и равен им, а боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания; значит, \(OO_1 \perp O_1A\) и \(OO_1 = \frac{1}{2}AA_1 = 4\) см.
Боковая грань \(BCC_1B_1\) прямой призмы — прямоугольник, \(CC_1 = AA_1 = 8\) см. Из прямоугольного треугольника \(BCC_1\): \[BC = \sqrt{BC_1^2 - CC_1^2} = \sqrt{13^2 - 8^2} = \sqrt{105} \text{ (см)}.\] Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне: \(O_1A = BC = \sqrt{105}\) см. Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\): \[\begin{aligned} &R = OA = \sqrt{OO_1^2 + O_1A^2} = {} \\ &= \sqrt{4^2 + (\sqrt{105})^2} = \sqrt{121} = 11 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Ответ: 11 см.
Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 8 см, а диагональ боковой грани — 13 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.
Дано:
\(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) — правильная призма
\(AA_1 = 8\) см
\(BC_1 = 13\) см — диагональ боковой грани
шар описан около призмы
Найти: \(R\) — радиус шара.
Решение: Шар описан около призмы, значит, вершины призмы лежат на его поверхности — сфере, описанной около призмы, и \(R = OA\), где \(O\) — центр шара. Правильная призма — прямая, а около её основания — правильного шестиугольника — можно описать окружность. Центр сферы, описанной около прямой призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы: точка \(O\) — середина отрезка \(O_1O_2\), где \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований \(ABCDEF\) и \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\). Отрезок \(O_1O_2\) параллелен боковым рёбрам и равен им, а боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания; значит, \(OO_1 \perp O_1A\) и \(OO_1 = \frac{1}{2}AA_1 = 4\) см.
Боковая грань \(BCC_1B_1\) прямой призмы — прямоугольник, \(CC_1 = AA_1 = 8\) см. Из прямоугольного треугольника \(BCC_1\): \[BC = \sqrt{BC_1^2 - CC_1^2} = \sqrt{13^2 - 8^2} = \sqrt{105} \text{ (см)}.\] Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне: \(O_1A = BC = \sqrt{105}\) см. Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\): \[\begin{aligned} &R = OA = \sqrt{OO_1^2 + O_1A^2} = {} \\ &= \sqrt{4^2 + (\sqrt{105})^2} = \sqrt{121} = 11 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Ответ: 11 см.
