Страница 134 номер 14.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(SABCD\) — правильная пирамида
пирамида вписана в шар
\(AB = 2\) см
\(SO_1 = 4\) см — высота пирамиды

Найти: \(R\) — радиус шара.

Решение: Пирамида вписана в шар, значит, её вершины лежат на сфере — поверхности шара, и центр \(O\) этой сферы равноудалён от всех вершин пирамиды. Пирамида правильная, поэтому её основание \(ABCD\) — квадрат, а основание \(O_1\) высоты \(SO_1\) — центр квадрата, то есть центр описанной около него окружности и середина диагонали \(AC\). Точки, равноудалённые от вершин многоугольника, вписанного в окружность, лежат на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр этой окружности. Значит, центр \(O\) лежит на прямой \(SO_1\).

Прямая \(SO_1\) проходит через центр сферы и пересекает сферу в точке \(S\) и ещё в одной точке \(S_1\), поэтому \(SS_1\) — диаметр сферы: \(SS_1 = 2R\). Плоскость \(SAC\) содержит прямую \(SO_1\), а значит, и центр сферы; она пересекает сферу по большой окружности, на которой лежат точки \(S\), \(A\), \(C\) и \(S_1\).

В плоскости \(SAC\) вписанный угол \(SAS_1\) опирается на диаметр \(SS_1\) большой окружности, поэтому \(\angle SAS_1 = 90^\circ\). Прямая \(SO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(AO_1 \perp SS_1\), то есть \(AO_1\) — высота прямоугольного треугольника \(SAS_1\), проведённая к гипотенузе. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: \(SA^2 = SO_1 \cdot SS_1\).

Диагональ квадрата со стороной 2 см равна \(2\sqrt{2}\) см, поэтому \(AO_1 = \sqrt{2}\) см. Из прямоугольного треугольника \(SO_1A\): \(SA^2 = SO_1^2 + AO_1^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 18\). Тогда \(SO_1 \cdot SS_1 = 18\), то есть \(4 \cdot 2R = 18\): \[\begin{aligned} 8R &= 18; \qquad | : 8 \\ R &= 2{,}25. \end{aligned}\]

Так как \(SO = R = 2{,}25\) см меньше \(SO_1 = 4\) см, центр шара лежит на высоте \(SO_1\), внутри пирамиды.

Ответ: \(2{,}25\) см.