Страница 127 номер 13.54, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — правильный тетраэдр
сфера с центром \(O\) касается всех рёбер тетраэдра
\(r = 1\) см — радиус сферы

Найти: \(AB\).

Решение: Пусть ребро тетраэдра равно \(a\). Ребро, касающееся сферы, лежит в касательной плоскости и имеет со сферой общую точку; поэтому и прямая, содержащая ребро, касается сферы. Отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки, равны. Значит, от вершины \(A\) до точек касания на рёбрах \(AB\), \(AC\), \(AD\) одно и то же расстояние — обозначим его \(x_A\); так же \(x_B\), \(x_C\), \(x_D\) — для вершин \(B\), \(C\), \(D\). Точка касания лежит на ребре, поэтому каждое ребро равно сумме таких отрезков, проведённых из его концов: \(AB = x_A + x_B\), \(CD = x_C + x_D\) и т. д. Все рёбра тетраэдра равны, поэтому

\[\begin{aligned} x_A + x_B &= x_C + x_D; \\ x_A + x_C &= x_B + x_D; \\ x_A + x_D &= x_B + x_C. \end{aligned}\]

Сложив первое равенство со вторым, первое с третьим и второе с третьим, получим \(x_A = x_D\), \(x_A = x_C\), \(x_A = x_B\). Значит, \(x_A = x_B = x_C = x_D = \frac{a}{2}\): сфера касается каждого ребра в его середине.

Пусть \(M\) и \(E\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\). Касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(OM \perp AB\); прямоугольные треугольники \(OMA\) и \(OMB\) равны по двум катетам (\(AM = MB\)), значит, \(OA = OB\). Плоскость, перпендикулярная отрезку \(AB\) и проходящая через его середину, — геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка; ей принадлежат точки \(O\), \(C\), \(D\) (\(CA = CB\), \(DA = DB\)) и точка \(M\), то есть это плоскость \(CDM\). Так же \(OE \perp CD\), \(OC = OD\), и точка \(O\) лежит в плоскости \(ABE\). Плоскости \(CDM\) и \(ABE\) различны (иначе точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежали бы в одной плоскости) и обе содержат точки \(M\) и \(E\), поэтому пересекаются по прямой \(ME\), и точка \(O\) лежит на этой прямой. Точки \(M\) и \(E\) лежат на сфере: \(OM = OE = r\), а \(M \ne E\), поэтому \(O\) — середина отрезка \(ME\) и \(r = \frac{ME}{2}\).

Грани правильного тетраэдра — правильные треугольники со стороной \(a\), поэтому их медианы \(CM\) и \(DM\) равны \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Медиана \(ME\) равнобедренного треугольника \(CMD\) является его высотой:

\[ME = \sqrt{CM^2 - CE^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]

Тогда \(r = \frac{ME}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{4}\), откуда \(a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\) (см).

Ответ: \(2\sqrt{2}\) см.