Страница 126 номер 13.40, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
сфера с центром \(O\)
\(MA\) и \(MB\) — касательные к сфере, \(A\) и \(B\) — точки касания
двугранный угол с гранями \(AMO\) и \(BMO\) равен \(120^\circ\)
\(AB = 6\) см, \(AM = 4\sqrt{3}\) см

Найти: \(R\) — радиус сферы.

Решение: Касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: \(OA \perp MA\), \(OB \perp MB\). Прямоугольные треугольники \(MAO\) и \(MBO\) равны (гипотенуза \(MO\) общая, катеты \(OA\) и \(OB\) равны), поэтому их высоты, проведённые из вершин \(A\) и \(B\) к гипотенузе \(MO\), равны и отсекают от неё равные отрезки, то есть имеют общее основание \(H\): \(AH = BH\).

Отрезки \(AH\) и \(BH\) лежат в гранях \(AMO\) и \(BMO\) и перпендикулярны их общему ребру \(MO\), поэтому угол \(AHB\) — линейный угол данного двугранного угла: \(\angle AHB = 120^\circ\). По теореме косинусов для треугольника \(AHB\), в котором \(BH = AH\): \[\begin{aligned} AB^2 &= AH^2 + AH^2 - 2AH^2\cos 120^\circ = 3AH^2; \\ AH^2 &= \frac{AB^2}{3} = \frac{36}{3} = 12; \\ AH &= 2\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Из прямоугольного треугольника \(AHM\): \(\sin\angle AMO = \frac{AH}{AM} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\), а угол \(AMO\) — острый угол прямоугольного треугольника \(MAO\), поэтому \(\angle AMO = 30^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(MAO\): \[R = OA = AM\operatorname{tg} 30^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4 \text{ (см)}.\]

Ответ: 4 см.