Страница 126 номер 13.42, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите ГМТ центров сфер, касающихся двух данных плоскостей.
Сфера с центром \(O\) и радиусом \(r\) касается плоскости тогда и только тогда, когда расстояние от \(O\) до этой плоскости равно \(r\). Поэтому точка \(O\) является центром сферы, касающейся двух данных плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), тогда и только тогда, когда она не лежит в этих плоскостях и равноудалена от них; радиус такой сферы равен общему расстоянию от \(O\) до плоскостей.
1) Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Пусть \(h\) — расстояние между ними. Прямая, проходящая через точку \(O\) перпендикулярно \(\alpha\), перпендикулярна и \(\beta\); пусть она пересекает \(\alpha\) и \(\beta\) в точках \(A\) и \(B\). Тогда \(AB = h\), а расстояния от \(O\) до плоскостей равны \(OA\) и \(OB\). Равенство \(OA = OB\) выполняется только для середины отрезка \(AB\): у точки прямой \(AB\), лежащей вне отрезка, \(|OA - OB| = h\). Значит, искомые точки лежат между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) на расстоянии \(\frac{h}{2}\) от каждой из них. Точки, удалённые от плоскости \(\alpha\) на \(\frac{h}{2}\), образуют две плоскости, параллельные \(\alpha\); между \(\alpha\) и \(\beta\) лежит одна из них — плоскость \(\gamma\). Обратно, каждая точка плоскости \(\gamma\) удалена от \(\alpha\) и от \(\beta\) на \(\frac{h}{2}\) и служит центром сферы радиуса \(\frac{h}{2}\), касающейся обеих плоскостей.
2) Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\). Точки прямой \(a\) лежат в обеих плоскостях и центрами сфер не являются. Пусть точка \(O\) не лежит на \(a\). Проведём через \(O\) плоскость \(\delta\), перпендикулярную прямой \(a\); она пересекает \(a\) в точке \(P\), а плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) — по прямым \(p\) и \(q\), перпендикулярным \(a\), поэтому углы между прямыми \(p\) и \(q\) — линейные углы четырёх двугранных углов, образованных плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) проходят через прямую \(a\), перпендикулярную плоскости \(\delta\), поэтому перпендикулярны \(\delta\), и перпендикуляры, опущенные из точки \(O\) на \(\alpha\) и \(\beta\), лежат в \(\delta\): расстояния от \(O\) до плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) равны расстояниям от \(O\) до прямых \(p\) и \(q\).
В плоскости \(\delta\) точки, равноудалённые от пересекающихся прямых \(p\) и \(q\), — это точки двух прямых, содержащих биссектрисы углов между \(p\) и \(q\). Значит, точка \(O\) равноудалена от \(\alpha\) и \(\beta\) тогда и только тогда, когда луч \(PO\) — биссектриса линейного угла одного из четырёх двугранных углов, то есть \(O\) лежит на биссекторе этого двугранного угла. Биссекторы двух вертикальных двугранных углов вместе с прямой \(a\) составляют плоскость, так как биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. Поэтому искомое ГМТ — две плоскости, проходящие через прямую \(a\) и содержащие биссекторы четырёх двугранных углов, образованных плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\), без точек прямой \(a\): каждая их точка \(O\), не лежащая на \(a\), удалена от \(\alpha\) и \(\beta\) на одно и то же расстояние \(r > 0\) и служит центром сферы радиуса \(r\), касающейся обеих плоскостей.
Ответ: если данные плоскости параллельны — плоскость, параллельная им и равноудалённая от них; если плоскости пересекаются по прямой \(a\) — две плоскости, проходящие через \(a\) и содержащие биссекторы четырёх двугранных углов, образованных данными плоскостями, без точек прямой \(a\).
Найдите ГМТ центров сфер, касающихся двух данных плоскостей.
Сфера с центром \(O\) и радиусом \(r\) касается плоскости тогда и только тогда, когда расстояние от \(O\) до этой плоскости равно \(r\): при большем расстоянии сфера и плоскость не имеют общих точек, при меньшем — пересекаются по окружности. Поэтому точка \(O\) является центром сферы, касающейся двух данных плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), тогда и только тогда, когда она не лежит в этих плоскостях и равноудалена от них; радиус такой сферы равен общему расстоянию от \(O\) до плоскостей.
1) Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Пусть \(h\) — расстояние между ними. Прямая, проходящая через точку \(O\) перпендикулярно \(\alpha\), перпендикулярна и \(\beta\); пусть она пересекает \(\alpha\) и \(\beta\) в точках \(A\) и \(B\). Тогда \(AB = h\), а расстояния от \(O\) до плоскостей равны \(OA\) и \(OB\). Равенство \(OA = OB\) выполняется только для середины отрезка \(AB\): у точки прямой \(AB\), лежащей вне отрезка, \(|OA - OB| = h\). Значит, искомые точки лежат между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) на расстоянии \(\frac{h}{2}\) от каждой из них. Точки, удалённые от плоскости \(\alpha\) на \(\frac{h}{2}\), образуют две плоскости, параллельные \(\alpha\); между \(\alpha\) и \(\beta\) лежит одна из них — плоскость \(\gamma\). Обратно, каждая точка плоскости \(\gamma\) удалена от \(\alpha\) и от \(\beta\) на \(\frac{h}{2}\) и служит центром сферы радиуса \(\frac{h}{2}\), касающейся обеих плоскостей.
2) Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\). Точки прямой \(a\) лежат в обеих плоскостях и центрами сфер не являются. Пусть точка \(O\) не лежит на \(a\). Проведём через \(O\) плоскость \(\delta\), перпендикулярную прямой \(a\); она пересекает \(a\) в точке \(P\), а плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) — по прямым \(p\) и \(q\), перпендикулярным \(a\), поэтому углы между прямыми \(p\) и \(q\) — линейные углы четырёх двугранных углов, образованных плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) проходят через прямую \(a\), перпендикулярную плоскости \(\delta\), поэтому перпендикулярны \(\delta\), и перпендикуляры, опущенные из точки \(O\) на \(\alpha\) и \(\beta\), лежат в \(\delta\): расстояния от \(O\) до плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) равны расстояниям от \(O\) до прямых \(p\) и \(q\).
В плоскости \(\delta\) точки, равноудалённые от пересекающихся прямых \(p\) и \(q\), — это точки двух прямых, содержащих биссектрисы углов между \(p\) и \(q\). Значит, точка \(O\) равноудалена от \(\alpha\) и \(\beta\) тогда и только тогда, когда луч \(PO\) — биссектриса линейного угла одного из четырёх двугранных углов, то есть \(O\) лежит на биссекторе этого двугранного угла. Биссекторы двух вертикальных двугранных углов вместе с прямой \(a\) составляют плоскость, так как биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. Поэтому искомое ГМТ — две плоскости, проходящие через прямую \(a\) и содержащие биссекторы четырёх двугранных углов, образованных плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\), без точек прямой \(a\): каждая их точка \(O\), не лежащая на \(a\), удалена от \(\alpha\) и \(\beta\) на одно и то же расстояние \(r > 0\) и служит центром сферы радиуса \(r\), касающейся обеих плоскостей.
Ответ: если данные плоскости параллельны — плоскость, параллельная им и равноудалённая от них; если плоскости пересекаются по прямой \(a\) — две плоскости, проходящие через \(a\) и содержащие биссекторы четырёх двугранных углов, образованных данными плоскостями, без точек прямой \(a\).
