Страница 134 номер 14.6, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — прямая призма
\(\angle ACB = 90^\circ\)
\(AC = 8\) см
\(BC = 6\) см
призма вписана в шар
\(R = 13\) см

Найти: \(AA_1\).

Решение: Призма вписана в шар, значит, её вершины лежат на поверхности шара — сфере, описанной около призмы, и \(R = OA\), где \(O\) — центр шара. Около треугольника \(ABC\) можно описать окружность, а центр сферы, описанной около прямой призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, поэтому эти центры — середины \(O_1\) и \(O_2\) гипотенуз \(AB\) и \(A_1B_1\), а \(O\) — середина отрезка \(O_1O_2\). Отрезки \(AO_1\) и \(A_1O_2\) равны и параллельны, поэтому \(AO_1O_2A_1\) — параллелограмм: \(O_1O_2 \parallel AA_1\) и \(O_1O_2 = AA_1\). Значит, отрезок \(O_1O_2\) лежит в грани \(ABB_1A_1\), и центр шара лежит на этой грани. Боковое ребро прямой призмы перпендикулярно плоскости основания, поэтому \(OO_1 \perp O_1A\) и \(AA_1 = O_1O_2 = 2 \cdot OO_1\).

Из прямоугольного треугольника \(ABC\): \[\begin{aligned} AB &= \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \text{ (см)}; \\ O_1A &= \frac{1}{2}AB = 5 \text{ (см)}. \end{aligned}\] Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\): \[\begin{aligned} OO_1 &= \sqrt{OA^2 - O_1A^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)}; \\ AA_1 &= 2 \cdot OO_1 = 2 \cdot 12 = 24 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Ответ: 24 см.