Страница 133 номер 14.2, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В сферу радиуса \(R\) вписан куб. Найдите площадь поверхности этого куба.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
куб вписан в сферу
\(R\) — радиус сферы
Найти: \(S\) — площадь поверхности куба.
Решение: Пусть \(a\) — ребро куба. Куб — прямоугольный параллелепипед, поэтому его диагонали равны, пересекаются в одной точке \(O\) и делятся ею пополам. Точка \(O\) равноудалена от всех вершин куба и является центром описанной сферы; диагональ \(AC_1\) проходит через центр сферы, а её концы лежат на сфере, поэтому \(AC_1\) — диаметр сферы: \(AC_1 = 2R\).
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений, а у куба все три измерения равны \(a\), поэтому \(AC_1^2 = 3a^2\). Так как \(AC_1 = 2R\), получаем: \[\begin{aligned} 3a^2 &= 4R^2; \qquad | : 3 \\ a^2 &= \frac{4R^2}{3}; \\ S &= 6a^2 = 6 \cdot \frac{4R^2}{3} = 8R^2. \end{aligned}\]
Ответ: \(8R^2\).
В сферу радиуса \(R\) вписан куб. Найдите площадь поверхности этого куба.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
куб вписан в сферу
\(R\) — радиус сферы
Найти: \(S\) — площадь поверхности куба.
Решение: Пусть \(a\) — ребро куба. Куб — прямоугольный параллелепипед, поэтому его диагонали равны, пересекаются в одной точке \(O\) и делятся ею пополам. Точка \(O\) равноудалена от всех вершин куба и является центром описанной сферы; диагональ \(AC_1\) проходит через центр сферы, а её концы лежат на сфере, поэтому \(AC_1\) — диаметр сферы: \(AC_1 = 2R\).
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений, а у куба все три измерения равны \(a\), поэтому \(AC_1^2 = 3a^2\). Так как \(AC_1 = 2R\), получаем: \[\begin{aligned} 3a^2 &= 4R^2; \qquad | : 3 \\ a^2 &= \frac{4R^2}{3}. \end{aligned}\]
Поверхность куба состоит из шести квадратов со стороной \(a\): \[S = 6a^2 = 6 \cdot \frac{4R^2}{3} = 8R^2.\]
Ответ: \(8R^2\).
