Страница 125 номер 13.23, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

1) Пусть \(\alpha\) — данная плоскость, \(A\) — данная точка этой плоскости, \(m\) — прямая, проходящая через точку \(A\) перпендикулярно плоскости \(\alpha\).

Пусть сфера с центром \(O\) касается плоскости \(\alpha\) в точке \(A\). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(OA \perp \alpha\). Через точку \(A\) проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости \(\alpha\), — прямая \(m\); значит, центр \(O\) лежит на прямой \(m\), причём \(O \ne A\), так как \(OA\) — радиус сферы.

Обратно, пусть \(O\) — любая точка прямой \(m\), отличная от \(A\). Рассмотрим сферу с центром \(O\) и радиусом \(OA\). Плоскость \(\alpha\) проходит через конец \(A\) радиуса \(OA\), отличного от центра сферы, и перпендикулярна этому радиусу (он лежит на прямой \(m\)), поэтому \(\alpha\) — касательная плоскость к этой сфере, а \(A\) — точка касания. Так, сферы с центрами \(O\) и \(O'\) на прямой \(m\) по разные стороны от плоскости \(\alpha\) касаются её в точке \(A\).

Значит, геометрическое место центров таких сфер — прямая \(m\) без точки \(A\).

2) Пусть \(\alpha\) — данная плоскость, \(r\) — данный радиус. Геометрическое место точек, удалённых от плоскости \(\alpha\) на расстояние \(r\), — две плоскости \(\beta_1\) и \(\beta_2\), параллельные \(\alpha\) и лежащие по разные стороны от неё.

Пусть сфера с центром \(O\) и радиусом \(r\) касается плоскости \(\alpha\) в точке \(T\). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(OT \perp \alpha\) и расстояние от точки \(O\) до плоскости \(\alpha\) равно \(OT = r\). Значит, точка \(O\) лежит в плоскости \(\beta_1\) или в плоскости \(\beta_2\).

Обратно, пусть точка \(O\) лежит в плоскости \(\beta_1\) или в плоскости \(\beta_2\). Тогда расстояние от центра сферы с центром \(O\) и радиусом \(r\) до плоскости \(\alpha\) равно радиусу, поэтому сфера и плоскость \(\alpha\) имеют только одну общую точку, то есть плоскость \(\alpha\) касается этой сферы. Так, сфера радиуса \(r\) с центром \(O\) в плоскости \(\beta_1\) касается плоскости \(\alpha\) в точке \(T\), а сфера с центром \(O'\) в плоскости \(\beta_2\) — в точке \(T'\).

Значит, геометрическое место центров таких сфер — плоскости \(\beta_1\) и \(\beta_2\).

Ответ: 1) прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно данной плоскости, без этой точки; 2) две плоскости, параллельные данной плоскости, лежащие по разные стороны от неё и удалённые от неё на расстояние, равное данному радиусу.