Страница 126 номер 13.45, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(SABC\) — трёхгранный угол, \(\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ\)
точка \(M\) трёхгранного угла удалена от его граней на \(1\) см, \(2\) см и \(5\) см
сфера проходит через \(M\) и касается всех граней угла
Найти: \(R\) — радиус сферы.
Решение: Лучи \(SA\), \(SB\) и \(SC\) попарно перпендикулярны. Введём систему координат с началом \(S\), направив оси \(x\), \(y\), \(z\) по этим лучам так, чтобы точка \(M\) была удалена от плоскостей \(yz\), \(xz\) и \(xy\) на 1 см, 2 см и 5 см соответственно; единичный отрезок — 1 см. Грани угла лежат в координатных плоскостях; расстояния от точки \((x; y; z)\) до плоскостей \(yz\), \(xz\) и \(xy\) равны \(|x|\), \(|y|\) и \(|z|\), а координаты точек трёхгранного угла неотрицательны. Поэтому \(M(1; 2; 5)\).
Пусть \(O(a; b; c)\) — центр сферы, \(R\) — её радиус. Плоскость каждой грани касается сферы, а касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; поэтому расстояние от \(O\) до плоскости каждой грани равно \(R\): \(|a| = |b| = |c| = R\). Если бы \(a = -R\), то \(OM \geqslant |1 - a| = 1 + R > R\), а по условию сфера проходит через \(M\); значит, \(a = R\). Так же \(b = R\) и \(c = R\), то есть \(O(R; R; R)\); точки касания \((0; R; R)\), \((R; 0; R)\) и \((R; R; 0)\) лежат на гранях угла.
Точка \(M\) лежит на сфере, поэтому \(OM^2 = R^2\): \[\begin{aligned} (1 - R)^2 + (2 - R)^2 + (5 - R)^2 &= R^2; \\ 2R^2 - 16R + 30 &= 0; \qquad | : 2 \\ R^2 - 8R + 15 &= 0. \end{aligned}\]
Корни уравнения: \(R_1 = 3\), \(R_2 = 5\). Обе сферы — с центром \(O_1(3; 3; 3)\) радиуса 3 и с центром \(O_2(5; 5; 5)\) радиуса 5 — касаются граней угла и проходят через \(M\).
Ответ: 3 см или 5 см.
Дано:
\(SABC\) — трёхгранный угол, \(\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ\)
точка \(M\) трёхгранного угла удалена от его граней на \(1\) см, \(2\) см и \(5\) см
сфера проходит через \(M\) и касается всех граней угла
Найти: \(R\) — радиус сферы.
Решение: Лучи \(SA\), \(SB\) и \(SC\) попарно перпендикулярны. Введём систему координат с началом \(S\), направив оси \(x\), \(y\), \(z\) по этим лучам так, чтобы точка \(M\) была удалена от плоскостей \(yz\), \(xz\) и \(xy\) на 1 см, 2 см и 5 см соответственно; единичный отрезок — 1 см. Грани угла лежат в координатных плоскостях; расстояния от точки \((x; y; z)\) до плоскостей \(yz\), \(xz\) и \(xy\) равны \(|x|\), \(|y|\) и \(|z|\), а координаты точек трёхгранного угла неотрицательны. Поэтому \(M(1; 2; 5)\).
Пусть \(O(a; b; c)\) — центр сферы, \(R\) — её радиус. Плоскость каждой грани касается сферы, а касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; поэтому расстояние от \(O\) до плоскости каждой грани равно \(R\): \(|a| = |b| = |c| = R\). Если бы \(a = -R\), то \(OM \geqslant |1 - a| = 1 + R > R\), а по условию сфера проходит через \(M\); значит, \(a = R\). Так же \(b = R\) и \(c = R\), то есть \(O(R; R; R)\); точки касания \((0; R; R)\), \((R; 0; R)\) и \((R; R; 0)\) лежат на гранях угла.
Точка \(M\) лежит на сфере, поэтому \(OM^2 = R^2\): \[\begin{aligned} (1 - R)^2 + (2 - R)^2 + (5 - R)^2 &= R^2; \\ 2R^2 - 16R + 30 &= 0; \qquad | : 2 \\ R^2 - 8R + 15 &= 0. \end{aligned}\]
Корни уравнения: \(R_1 = 3\), \(R_2 = 5\). Обе сферы — с центром \(O_1(3; 3; 3)\) радиуса 3 и с центром \(O_2(5; 5; 5)\) радиуса 5 — касаются граней угла и проходят через \(M\): \(O_1M^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 9\), \(O_2M^2 = 4^2 + 3^2 + 0^2 = 25\).
Ответ: 3 см или 5 см.
